例说不等式在解几何题中的应用.doc

第一篇：例说不等式在解几何题中的应用.doc

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例说不等式在解几何题中的应用 作者：徐 塌

来源：《发明与创新(学生版)》2006年第08期

第二篇：解剖学在几何证明题中的应用

“解剖学”在几何证明题中的应用

咸安区白鹤中学游明勇

几何的正面，是学生感到很难的一部分内容。它需把定理与图形

灵活地结合起来，一些简单的几何图形，孩比较容易找到切入点，但

对一些组合图形，或图形中的线，图形较多时，我就采取“解剖学”

中的方法，把图形先提出来，分析探究有关结论，再放进去，把不熟

悉的图形，变成成熟的，学生就很容易找到切入点。

案例1》：如图,ӨO1与ӨO2外切于P，AB切ӨO1于A，切ӨO2于

B，R1=4,R2=2，求AB的长。

老师提出问题：怎样求AB的长呢？请学生边读题边结合图形，你能读出哪些结论？有哪些辅助线？

生：（1）点O1,P,O2三点共线。

（2）连O1A,O2B 辅助线。

师：试连线，结合题中已知，你能得到哪些线段长？

生：O1O2=6,AO1=4,BO2=

2结合题中问题，观察思考：题中怎样求线的AB的长？让学生自己动

手做后，老师再用另一种思路解:AB师：请把图中点A,B,O1,O2四点对应的图形

4提出来，结合初二基本图形，你有所发现。O1 6

生：它就是：初二梯形中，已知上、下底长—腰长，求另一腰长。

反思：归纳：这样，在几何题证明中，避免其它线对思维的影响，可O2

适当地把部分图像从原题中提出来进行分析，得出结论，还放回原题

进行解答。

案例2>：如图，ӨO1与ӨO2都经过A, B两点，过点A的直线CD

与ӨO1交于C，与ӨO2交于D，过点B的直线EF与ӨO1交与E，交Ө

M

E©图（1）N（1）求证：CE//DF.（2）在图（1）中，若CD与EF可以绕点A, B 转动，当点C与点

E重合时，过点E作直线MN//DF。判断直线MN与ӨO1的位

置关系，并证明你的结论。与ӨO2师：案例（1）中灵活应用，把题中部分“器官”提出来，进行分析，然后再放进去，你能用上述方法对案例（2）中第1小题进行分析吗？

试试看。

生：抓住两圆相交的基本辅助线，在不同圆中分别进行剖析，应用圆

内接四边形性质，和平行线的判定方法，易证。CA

师：对于第（2）小题，图形变了，已知，结论也有所改变：你能用

以上“解剖”的方法，把它们分开分拆，提出来，再放进去找联系吗？

生：可作如图分解 ：

在图（b）中可证：

再在图（a）中，就是已知< ABE=

师生反思：因此，在几何证明题中，当图中的线较多或图形较复杂时，可以使当地把部分图形提出来，单个研究，防止，其他图对思维的影

响，阻碍了思维的发展。因此，使当地采取“解剖的方法”，化难为

易，化繁为简，化不熟悉为常规，采取“各个击破”的思想，大大降

低了解题的难度，改变了大部分学生认为几何难学的思想，在某一定

程度上，激发了学生求学的兴趣。

第三篇：法向量在立体几何解题中的应用

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法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第四篇：极限思想在解题中的应用

Email:hb_yuerf@sohu.com个人简介：岳儒芳毕业于河北师范大学中学一级教师教育硕士

极限思想在解题中的应用

河北省石家庄市第十九中学岳儒芳

数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足．于是将对无限的研究就转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想．

在数学教学过程中，虽然开始学习的数学都是有限的数学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究．在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的，以上数集都是无限集．对图形的研究，知道直线和平面都是可以无限延展的．在解析几何中，还学习过抛物线的渐进线，已经开始有极限的思想体现在其中．学习了数列的极限和函数的极限之后，使中学阶段对无限的研究又上了一个新台阶，集中体现了有限和无限的数学思想．使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决．实际上先进行有限次分割，然后再求和，求极限，我们认为，这是典型的有限与无限数学思想的应用．

函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用．导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具．通过学习和考查，可以体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论以及变量数学的力量．

例1．函数ylog2xlogx(2x)的值域是（）

（A）(,1]（B）[3,)（C）[1,3]（D）(,1][3,)

【分析】选D．

法1:用极限的思想．∵函数定义域为{x|x

当x

120且x1}．当x时，y，∴可排除B，C； 时，y1，∴可排除A．故选D．

log2x1

log2x1法2:函数变形为y

求出．

例2．过抛物线y

p，设tlog2x,则t0，再作出“对勾”函数的图象，数形结合即可ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 和q，则

1p1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】选A．（C）2a（D）4a

（法1）取a2（不可取a1,否则，A，D两项的值均等于4），得焦点F(0,的直线PQ∥x轴，易知p

q

14,1p1q

84

218)，过F再作特殊位置，故选A．（选择图形的某一个特殊位置，可得到相关的数

或式的特殊关系，而特殊位置图形的选择往往又与选取适当的特殊值和特殊点有关．）

（法2）用极限的思想即：画出图形，使PQ绕点F旋转，使点P与点O重合即可求出． 例3．设A1、A2是椭圆

A2P

2x

9

y



1的长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与

交点的轨迹方程为（）（A）

x

9

y



1（B）

y



x

1

（C）

x



y

1

（D）

y



x

1

【分析】选C．（法1）设p1(3cos,2sin),P2(3osc

,2nis)，由椭圆得A1(3,0),

A2(3,0)，直线A1P1为y



3tan



2x2tan

2，直线A2P2为y



cot



x2cot



3(cottantan

)，∴交点M中，x



cot

3cos

2tan



,y

22tan2tan

cos2，∴（x3)

（y2)

sec

tan

1,即

x



y

1

．选C．

0

(法2)利用极限的思想即当P1P2恰是短轴的两个端点时，则两直线无交点，即说明当x曲线方程无解．结合选项可判断选C．

例4．直三棱柱ABC

BAPQC

A1B1C1的体积为V

时，所求的，P、Q分别为侧棱AA,CC上的点，且AP

A

1CQ，则四棱锥

C1的体积是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】选B．

（法1）用极限的思想，即令点P与点A1重合，点Q与C重合，则四棱锥

BAPQC

A

B

C

就变成三棱锥B

APQ，再根据等体积法VBAPQ

VPABC

即可求出．

（法2）可分别取AA,CC的中点P，Q，同时令三棱柱中所有棱长为2，很容易就可算出．

例

5、已知1分析：令x

x10，则(lgx)2,lgx2,lg(lg

1，lgx

x)的大小关系为___________．

x)0

10，则(lgx)

22，lg(lg，大小关系为

lg(lgx)(lgx)

lgx

．

例6、2005年10月15日，我国成功发射神州五号载人航天飞船，若飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，且其近地点距离地面为m千米，远地点距地面n千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）[已知地球半径为R千米]

（A）

(mR)(nR)

（B）

2(mR)(nR)

（C）mn（D）2mn

分析：选B．

考虑问题的极限情形，m

而将m

n0,n0,则符合题意的椭圆表现为圆，于是轨道的短轴长表现为圆的直径2R，代入各选择分支，仅有B适合，于是正确答案只能是B．

例

7、设n为自然数，求证不等式

19125



1(2n1)



．

时，不等式右边是一个常量，而左边从k变为

许多学生会利用数学归纳法证明，但是，当证明n

k1

k1

时却在不断增大，证明难度较大．然而，把

1(2n1)

1(2n1)1（看成数列{an}，则上述不等式可转化为数列求和，

12n119125)

因此想到利用数列极限进行求解．因为

12(1

131315

12n1



12n1)



22n1，所以有下式：



1(2n1)

1912



125lim



1(2n1)

，两边同时取极限，则

lim[

n

]

2n2n1



．

n

在上例中，将不等式的项与数列相联系，用极限求和的方法为解决不等式证明问题拓宽了思路，简便了计算过程．另外，极限思想与特殊化原则的结合，可对某些较复杂的问题极端化处理，使解题过程化难为易．因此，教师应该在课堂教学中帮助学生归纳和总结极限思想在解题中的运用，但不能把对极限的运用局限在解微积分的题目中，应该认识到，通过极限思想，能有效地将数学各部分内容系统地联系起来，有利于学生从整体上把握数学的本质．

高考中对有限与无限的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想．例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等．随着高中课程的改革，对新增内容的考查在逐步深入，必将加强对有限与无限思想的考查，设计出重点体现有限与无限思想的新颖试题．

第五篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 柯西不等式在解题中的几点应用 新人教版

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仅供参考

柯西不等式在解题中的几点应用

摘要：本文利用怎样运用柯西不等式解题的技巧，介绍了柯西不等式在解等式、不等式、极值、三角问题等方面的应用。

关键词：柯西不等式、技巧、应用

一、引言

人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题（P、15练习第2题）： 求证：ac+bda2b2*cd22这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。

证明：当a=b=c(或c=d=0)时，显然成立； 假设a+b0 且c+dacbda222220,则

acbda2b2*acc2d2

2b2*bdcd2=a2c2

cd2ba22*d222a2b222*d2=a2b2*cc2dba222b*c2

 d221ac2222abcd2221bd2a2b22cd2=1 故ac+bdacbdacbda2b2*c2d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。

柯西不等式的一般形式为：

对任意的实数a1,a2,,an及b1,b2,,bn有

nnn22aibiaibi,i1ii1i12

(2)nnn或i1aibii1ai*2bi12i,(3)其中等号当且仅当a1b1a2b2anbn时成立（当bk0时，认为ak0,1kn).柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。

一、柯西不等式在解题中的应用

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1、利用柯西不等式证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。

例、已知a1b2b1a21,求证：a2b21。

证明：由柯西不等式，得

a1b2b1a2a21a22b21b21

当且仅当b1a21ba2时，上式取等号，abab221a21b，21a221b，1。于是 ab22、利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。

例：解方程

x21x2x1x1x22121x12221xx1。

解：x2x11x122

= x21x12x1

由柯西不等式知

x2x1x21x12x12

x1xx1x即

用心 爱心 专心 2

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x21x21(x1)2(x1)22,x(x1)

1x21x12(x1)21(x1)2

2x(x1)1x(x1)2当上式取等号时有x(x1)成立，即

x2x10（无实根）或xx10，即

x125，经检验，原方程的根为

x125

用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。

例：解方程组

xyz9xw6x4

2x(y2z2w)w(y222w)4862解：原方程组可化为

xyz9xw6(x2

z)(x22y2w)4862运用柯西不等式得

(x2y2z)292327, xw2262218

两式相乘，得

x2y2z2x2w2486

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.3、柯西不等式证明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例：设a,b,c为正数且不相等到，求证：

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2ab2bc2ca9abc

这两个常数进行巧拆，9=1112分析：我们利用9与2，2abcabbcca

这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明

：a111bcabbccaa111bbccabccaabab221bc22ca1abca211bc221ca2 ab2abbc1bcca11192ab2bc2ca9abc a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。

但是我们只要改变一下多项式的形态结有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

例：设a1a2anan1,求证：

1a1a21a2a31anan11an1a10

分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

a1111an11，a2a3anan1a1a2证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成

a1an1a1a2a2a3anan1于是

a1n2111a2a2a3anan1aaa2a3anan1211. 用心 爱心 专心 4

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即111a1an1aaa2a3anan1211a1a21a1a21，1a2a311anan111a1an11故a2a3anan1an1a10.我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

例：求证：x1x2证明：22y1y2222x12y1x2y222.x1x222y1y222x1x2y1y22222x21x2y1y2

222由柯西不等式得

x21x2y1y2x1y1x2y22222

其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

x21x222y221y222x1y1x2y2

2x1x2y12y1y22x21x22y21y222x2.1y1x2y2 x122x2y2222x1x2y1y2x1y12x2y2其中等号当且仅当x1ky1，x2ky2 时成立。

4、用柯西不等式证明条件不等式

n2n2n柯西不等式中有三个因式ai，bi，aibi而一般题目中只有一个或两个

i1i1i1因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有广泛的选择余地，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量ai，任意两个元素 ai，aj（或bi，bj）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知a,bR，a+b=1,x1,x2R, 求证：ax1bx2bx1ax2x1x2

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分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：ax1bx2bx1ax2 =ax1bx2ax2bx1 ax1x2b2x1x22

=abx1x2x1x2。例、设x1,x2,,xnR,求证：

x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn

（1984年全国高中数学联赛题）

证明：在不等式的左端嵌乘以因式x2x3xnx1，也即嵌以因式

x1x2xn，由柯西不等式，得 x12x2xx3xxnxn2x1(x2x3xnx1)

x1x2x2x322222xxn1nxxn1x2x32xn2x12xnxnx1x1

x1x2x2x2x32x3xn1xnx1x2xn,于是x12x2xx3xxnxn2x1x1x2xn.5、利用柯西不等式求函数的极值

有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。

例 设非负实数1,2n满足12n1,求

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112_n11`23nn211的最小值。（198

2n1年西德数学奥林匹克度题）

解：易验证

112+1=

n1(12n)21221

同理可得

1113+1=

n222,,12nn1+1=

22n

令y1122_n11`23nn211

n1故yn21222+22n

为了利用柯西不等式，注意到

(2a1)(2a2)(2an)2n(a1a2an)2n1，121122(2n1)(+12n)

=(2a1)(2a2)(2an)(121122+12n)

2a1yn2n12a122a22n212a2n2n1.2an12an2n22n1,y2n1n1n等号当且公当a1a2an时成立，从而y有最小值

nn2n1

例 设x1,x2,,xn都是正数，n2,且xi1,求证：

i1nn i1xi1xii1xi.（1989年全国数学冬令营试题）

n1证明：令yi1xi(i1,2,n),由柯西不等式，得

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nnn(i1xi)2ni1xin, 即 i1xin.nnn同理，得(i1nyi)2ni1yini1(1xi)n(n1)，即 yii1n(n1).又由柯西不等式，得

nni1nyii11yi2n(i14yi14)2n

2yi故i11yin1nyin2，i1n(n1)从而

ni1xi1xinnni11yiyini11yini1yi n(n1)n

n1nn1i1xi.n16，利用柯西不等式解三角问题。

三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。

例 在ABC中，求证：

sinAsinB5sinC1982201(2013)40

证明：sinAsinB5sinC

2sin2cos2cosAB2C2C2(coscosAB22C210sinC2)C2cosC2AB5sin).(15sin当且仅当A=B时等号成立。

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令ycosx(15sinx)(0x)2，于是引进参t0,求

y2cos2x(15sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2cos2x15sinx225cos2x15sinx =25cosx1t2tsinx 5cos225x12t22t2sinxt25

25t21cos2x2xt2t2sin.abab2又由平均值不等式4,得

2222y225t1cosxtsin2xt22 =25t21t2124t2.（1）

当且仅当cos2x=t2sin2x时等号成立。例、已知a,b为正常数，且0

3a23b23a23b2sin2xcos2x

3asinx3bcosx2等号成立的当且仅当sinxcosx3a3b时；

即 xarctg3ab 时，于是

3a23b23asinx3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a23b2ba cosxsinxbabcosx sinxcosx 3asinx3 6a23sinx2asinx6bcosxbcosx2 ab3.32等号成立也是当且仅当xarctgab时。

3a 从而ysinxcosxab232b32.3 于是y的最小值是asinxcosxab232b32. 在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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