角平分线定理在几何证明题中的妙用

第一篇：角平分线定理在几何证明题中的妙用

http://www.xiexiebang.com。

http://www.xiexiebang.com，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。

证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，故PM=PN 又因PD是BC的垂直平分线，故PB=PC 因PB=PC，PM=PN，故RtPBMRtPCN

BMCN

点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。

第二篇：角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的多种证明方法

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC

证明：方法一：（面积法）

三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法二（相似形）

过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）

过M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC

方法四（正弦定理）

作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC

阅读下面材料，按要求完成后面作业。

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。

分析：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。

在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的

第四比例项AE，这样，证明（1）完成证明过程： 证明：

=，就可转化证=。

（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）答：用了：①____________；②_____________。

（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答：____________。（4）用三角形内角平分线定理解答问题：

如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。

（1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E，则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，可得=，∴=。

（2）两直线平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）②；（4）“略”

第三篇：几何证明定理

几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本！

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。

第四篇：专题十二 几何题证明解题技巧----角平分线专题

专题十一 几何证明题解题技巧------角平分线专题

1．角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直）基本图形

AAA

F EFEFED DD

BF'CBF'CBF'C图一 图二图三例题：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分线，∠B＝60°。求证：AC＝AE＋CD。

A

E

BDC 图二

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求证：DC⊥AC。A

2C

BD

图三

3．已知，四边形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

D EA

BC

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求证：∠ADC＋∠B＝180°。

B

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

A12DC图九1（AB＋AD）。2A求证：∠D＋∠B＝180°。

E

B C图十

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。A

3B2 P 图十一

2．角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。基本图形

AA

EGED

DF

12122 B3DCBCBF 图2-1图1图2-2

第五篇：角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案

慧光中学：王晓艳

教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；

（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；

教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。教学难点：角平分线定理的应用；

教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程：

一，新课引入：

1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点？ 操作：（1）画一个角的平分线；

（2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。

（3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。2．定理的获得：

A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明，得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。B、分析此定理的作用:证明两条线段相等；

应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。3．定理的应用 二．例题讲解：

例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF（此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）FBPACE

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点E、F，圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。

求证：BC=EF（此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件）

M

CQBAEONF

三：课堂小结：

①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离;②若图中有角平分线，可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习

1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2 求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

A1EBDFC

方

一、延长AD到AE，使DE=AD，再连接CD。（此方

法前面已经重点讲过，这里不再考虑）

方

二、过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，①利用全等证明

②利用面积相等证明

2．练习的拓展： 已知：如图，D是BC上一点，AB=3㎝，AC=2㎝

求：① S⊿ABD ：S⊿ADC

② BD ：CD

ABDC

五．课后小结

1、本节课所学习的重要定理是什么？

2、定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？

3、若图中有角平分线常采用添加辅助线的方法是什么？

4、基本图形拓展：此图中根据已知条件还可以得到那些结论？若连接AP，EF还可以得到哪些结论？

慧光中学：王晓艳

教师的成长在于不断地总结教学经验和进行教学反思，下面是我对这一节课的得失分析：

一、教材分析

本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册11.3角平分线的性质的第一课时。角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况

八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。借助于课件的优势，能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性也被充分调动起来。教法和法学

通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

在教师的指导下，采用学生自己动手探索的学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程设计

首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使之得到充分的诠释。如在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，并留给学生足够的时间进行证明。为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

其次，我在讲解过程中突出了对中考知识的点拨，并且让学生感受生活中的实例，体现了数学与生活的联系；渗透美学价值。<<角平分线的性质>>教学反思

再次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节激发了学生的学习兴趣，将想与做有机地结合起来，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。像采用这种由易到难的手法，符合学生的思维发展，一气呵成，突破了本节课的重点和难点。

四、本节课的不足

本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用，并且没有在尺规作图后将平分角的学具与角平分线的画法的关系两相对照。

在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。

对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，以至于在后面所准备的习题没有时间去练习，给人感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容

《角平分线的性质》说课稿

慧光初级中学 王晓艳

我说课的题目是《角的平分线的性质》。下面，我从教材分析、教法与学法、教学过程、设计说明四个方面对我的教学设计加以说明．

一、教材分析

（一）地位和作用：

本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第二章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．

（二）教学目标

1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理.（2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质.2、基本技能

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3、数学思想方法：从特殊到一般

4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验

设计意图：

通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重难点

进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）

教学难点突破方法：

（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．

二、教法和学法

本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合．

教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．

四、教学过程

（一）创设情景 引出课题

出示生活中的数学问题：

问题1 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

［设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感．

教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。学生动手画图，猜测并说出观察到的结论．李薇同学很快就回答：“在两条路夹角的平分线上，因为由昨天我们学习的角平线的性质定知道到角两边路离相等的点在角的平分线上。”其余同学对这一回答也表示了认可。此是教师提问：角平分线的性质的题设是已知角平分线，结论是有到角两边距离相等，而此题是要求角两边距离相等，那这个点在这个角的平分线上吗？这二者有区别吗？”学生晃然明白过来这二者是有区别的，此时教师引导学生分析：“只要后者是正确的，那李薇同学的回答也就可行了，这便是今天我们要研究的内容”由此引入本节新课。．

[设计理由］依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备．

（二）、主体探究，体验过程

问题2交叉角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。）

追问1你能证明这个结论的正确性吗？

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．教师归纳，强调定理的条件和作用．同时强调文字命题的证明步骤．

［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维．

追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？

这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性。

质可用来证明线段相等．

（三）巩固练习，应用性质。让学生运用本节所学知识分步来解决课前所提问题。让学生体会生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学。

在教学的实际过程中，重视学生的亲身体验、自主探究、过程感悟。在教学中，给学生一段时间去体悟，给他们一个空间去创造，给他们一个舞台去表演；让他们动脑去思考，用眼睛去观察，用耳朵去聆听，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。这种探究超越知识范畴而扩展到情感、价值观领域，使课堂成为学生生命成长的乐园。为了让学生做到学以致用，在判定证明完后，我让学生回头来解决问题1，对于问题1的解决作了如下分解：在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．

（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？

（2）若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？

（3）如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？

这样有梯次的设问为学生最终解决问题1作了很好的分解，学生独立解决这道路问题也就变得很简单了。同时在分解问题（3）时，有学生说作三角的平分线找交点，有学生反驳说作两条就可以了因为第三条角平分也一定过这个交点。此时老师及时提问任意三角形的两内角平分线的交点在第三个角的平分线上吗？那么我们来作下面的探究。（教师出示问题2：如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 这样提出问题连惯性强，让学生的思维始终处于活跃和不断对知识的渴求探索中。

（四）归纳小结，充实结构

1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？

2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

教师让学生畅谈本节课的收获与体会．学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验．

［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．

五、布置作业

作业，必做题：教材习题12.3第3、7题； 选做题：课时通上选做部分题。

［设计意图］设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成．选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的．

本节课设计了四个环节，环环相扣，三个整合点，层层深入，将信息技术与教学进行有机整合，充分调动学生的自主探究与合作交流，教师注意适时的点拔引导，学生的主体地位和教师的主导作用得以充分体现，切实能够达到发展思维、提升能力的根本目的，能够较好地实现教学目标，也使课标理念能够很好地得到落实。