举例子能证明几何定理吗

第一篇：举例子能证明几何定理吗

举例子能证明几何定理吗

【编者的话】书读得多而不去思考，你会觉得你知道的很多，书读得多又思考，你会觉得你不知道的很多.――伏尔泰

各位亲爱的同学，假期里你总可以挤出一些属于自己的阅读时间，你是否相信自己可以从课外阅读中获取自己想要的知识与灵感呢？课外阅读的范围相当广，我们可以依据自己的兴趣进行选择性地阅读，身心必将受到一次大的洗礼，在增长见识的同时又娱乐身心，何乐而不为？

本期的两篇文章都是节选，请你读一读，要是在读过后能写些读后感就更好了！

归纳和演绎，是人类认识世界活动中广泛应用的两套思维方法.它反映了人们认识事物的两条思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动.哲学认为：归纳和演绎非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互补充、相互转化.在数学家的眼中，归纳和演绎用处也各有不同.拉普拉斯说：在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比.高斯说：数学中的一些美丽定理具有这样的特性，它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深.陈省身说：数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论.归纳用于发现，演绎用于推理.这是相当普遍的看法.例证法――用演绎支持归纳

那么，在数学中举例真的不能证明一般的命题吗？

中学里学了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一个恒等式.用χ=l代人，两边都得O；χ=2，两边都得1；χ=3，两边都得4.这样举了三个例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有数值时两边都相等.才验证了三个χ的值，怎么能断定它一定恒等呢？

其实，这三个实例已经证明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，这种方程不可能有三个根.现在1，2，3都是“根”，说明它不是方程而是恒等式，在这个具体问题上，演绎推理支持了归纳推理.我们用数学上承认的演绎法证明了归纳法的有效性，一般说来，代数恒等式的检验都可以用举例子的方法.不过，高次的和多元的等式，要用更多的例子罢了.这些事实表明：在数学王国的某些角落里，归纳法可以有效地证明一般性的命题，甚至可以用一个特例证明一般的命题.归纳法的这种力量，是由演绎推理证明的.数学的新成果表明：归纳与演绎是对立的统一.认为归纳推理毫无根据是不充分的，因为在初等几何范围内已证明了归纳的有效性；认为演绎推理不能使我们增加新知识也是不确切的，因为演绎推理揭示出事物的内在联系，使我们看到现象背后的本质，增加了我们的新知识.归纳与演绎，是人类认识世界的两个基本方法，它们相互支持，相互补充，使我们越来越接近真理.但是，代数恒等式在数学史上，远不如初等几何证明题那样受人青睐，那样丰富多彩，那样魅力无穷.正是在初等几何领域，演绎推理树立起了自己的威望，成为人所共知的绝对统治者.归纳法的效力，能不能在这里发挥作用呢？传统的看法是否定的.但是，20世纪80年代以来，中国数学家的工作在这里揭开了新的一页.几何定理也能用例子证明

用举例的方法证明几何定理的研究，属于几何定理机器证明这个在近几十年开始活跃起来的数学领域.用机器证明数学定理，是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦寐以求的事.数学问题大体上有两类，一类是求解，一类是求证.我们熟悉的求解问题很多：解方程，解应用题，几何作图，求最大公因数与最小公倍数，我们熟悉的求证问题，大多是初等几何证明题，还有证明恒等式，证明不等式.中国古代数学研究的中心问题是求解，把问题分为若干类，分别给出解题的方法.这方法是一系列确定的步骤，谁都可以学会.会一个方法，便能解一类问题.《九章算术》就是这么做的.用一个固定的程序解决一类问题，这就是数学机械化的基本思想.追求数学的机械化方法，是中国古代数学的优秀传统之一.在西方，以希腊几何学研究为代表的古代数学，所研究的中心问题不是求解而是求证，是从公理出发用演绎推理方式证明一个一个的定理.而证明定理的方法，则是一题一证，各具巧思，无一确定的法则可循.证明的成功有赖于技巧与灵感.能不能找到一种方法，像解方程那样，按固定法则证明一批一批的几何定理呢？

17世纪法国的唯理论哲学家，发明了解析几何的数学家笛卡儿，曾有过一个大胆的设想：“一切问题化为数学问题.一切数学问题化为代数问题.一切代数问题化为代数方程求解问题.”

于是，笛卡儿用坐标方法――解析几何的方法，把初等几何问题化成了代数问题.比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家、与牛顿同时创立微积分的数学家莱布尼茨，曾有过“推理机器”的设想，希望用一台机器代替人的推理活动，他曾设计过计算机，他的努力促进了数理逻辑的研究.20世纪的数学大师希尔伯特，在他的名著《几何基础》一书中，也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法.第二次世界大战以后，电子计算机的出现大大促进了定理机器证明的研究.经过许多出色数学家的辛勤耕耘，这个领域有了蓬勃发展，但是都不能在计算机上真的用来证明非平凡的几何定理.一直到杰出的中国数学家吴文俊院士在1977年发表他的初等几何机器证明新方法之后，在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实.吴氏方法的基本思想是：先把几何问题化为代数问题，再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，代数恒等式的检验是机械的，问题的转化过程也是机械的，整个问题也就机械化了.既然几何证明问题可以化为代数恒等式的检验问题，而在前面义刚刚提到过可以用举例的方法检验代数恒等式，那是不是意味着有可能用举例的方法来证明几何定理呢？

吴氏方法鼓舞了这个方向的研究.在吴氏方法的基础上，洪加威于1986年发表了一项引起广泛兴趣的研究成果：对于相当广泛的一类几何命题，只要检验一个实例便能确定这条命题是不是成立.特例的检验，能代替演绎推理的证明！

但是，洪加威要的那一个例子，不是随手拈来的例子，它要满足一定的条件，才具有一般的代表性，对于非平凡的几何命题，这例子往往涉及大得惊人的数值计算.为了使洪氏方法在计算机上实现，尚待进一步的努力.在吴氏方法的基础上，张景中、杨路提出了另一种举例证明几何定理的方法.按照这种方法，为了判定一个（等式型）初等几何命题的真假，只须检验若干普通的实例.例子的数目与分布方式可以根据命题的复杂程度用机械的方法确定.顺便提一句，举一些例子证明几何定理，举的例子不仅要够一定的数目，而且要有一定的分布方式，这正是归纳法的倡导者培根所要求的：要广泛搜集材料，搜集不同类型的材料.它的有效范围是它从中引申、归纳m的那些事例的范围，张杨法所要求的这一组例子的分布形式，足以保证概括了命题的论域，代表了广泛的一般情形.――节选自张景中、彭翕成所著的《数学哲学》

第二篇：几何证明定理

几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本！

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。

第三篇：高中几何证明定理

高中几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。

想要变-态的这里多的是--

欧拉定理&欧拉线&欧拉公式(不一样)

九点圆定理

葛尔刚点

费马定理(费马点(也叫做费尔马点))

海伦-公式

共角比例定理

张角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡诺定理

芬斯勒-哈德维格不等式(几何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅劳斯定理

斯坦纳定理

托勒密定理

分角线定理(与角分线定理不同)

斯特瓦尔特定理

切点弦定理

西姆松定理。

第四篇：初一常用几何证明的定理

初一常用几何证明的定理总结

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P（a，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a，b）在x轴下方，则b<0。

(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0，0）

（4

(5)

第五篇：牛顿几何三大定理及证明

牛顿三大定理

牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q

R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线 故牛顿定理1成立

牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。证毕。

牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

证明 设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI ’ 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.