高中几何证明定理

第一篇：高中几何证明定理

高中几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。

想要变-态的这里多的是--

欧拉定理&欧拉线&欧拉公式(不一样)

九点圆定理

葛尔刚点

费马定理(费马点(也叫做费尔马点))

海伦-公式

共角比例定理

张角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡诺定理

芬斯勒-哈德维格不等式(几何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅劳斯定理

斯坦纳定理

托勒密定理

分角线定理(与角分线定理不同)

斯特瓦尔特定理

切点弦定理

西姆松定理。

第二篇：几何证明定理

几何证明定理

一.直线与平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二.平面与平面平行的(判定)

1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2.关键：判定两个平面是否有公共点

三.直线与平面平行的(性质)

1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四.平面与平面平行的(性质)

1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的(定理)

1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)

六.平面与平面的垂直(定理)

1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七.平面与平面垂直的(性质)

1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本！

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。

第三篇：高中几何基本定理

（高中）竞赛平面几何必备定理纲要

一·中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB2AC22(AP2BP2)； 中线长：ma2b22c2a2．

222221． 垂线定理：ABCDACADBCBD． 高线长：ha2bcp(pa)(pb)(pc)sinAcsinBbsinC． aa

2． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC中，AD平

22bcA分∠BAC，则BDAB；（外角平分线定理）．角平分线长：ta(pa)cos（其中bcbc2DCAC

周长一半）．

43． 张角定理：sinBAC sinBADsinDAC．

ADACABp为

4． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC

＝BC·DC·BD．

5． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）

6． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．

7． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）

8． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其

延长线必平分对边．

9． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P

任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

10．11．

12． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．

13．14．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．

15．16．

17． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

18．xxBxCyAyByC 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；G(A,)

重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD2:1；

（2）设G为△ABC的重心，则SABG

SBCGSACGSABC；

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC

DEFPKH2DEFPKH

;2； BCCAAB3BCCAAB22222

2（4）设G为△ABC的重心，则①BC3GACA3GBAB3GC；②

GA2GB2GC2(AB2BC2CA2)；③PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2（P

222

为△ABC内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GAGBGC最小；

于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）． 19．

垂

心

：

三

角

形的三

条

高

线的交

点；

abcabc

xAxBxCyAyByC

cosAcosBcosCcosAcosBcosCH(,)

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则BAOHAC,CBOABH,BCOHCA． 20．

内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

I（axAbxBcxCayAbyBcyC

（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，,)内心性质：

abcabc

190A,AIC90B,AIB90C；

222

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC

反之亦然；（2）设I为△ABC的内心，则BIC

外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；（4）设I为△ABC的内心，AIAKIKbc

；（5）

IDKIKDa

设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为r，BCa,ACb,ABc, A平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则

令

p(abc)，则①SABCpr；②AEAFpa;BDBFpb;CECDpc；③

abcrpAIBICI．

外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

21．O（sin2AxAsin2BxBsin2CxCsin2AyAsin2ByBsin2CyC,)

sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则BOC2A或BOC3602A；

（3）Rabc；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

4S

22．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边BCa,ACb,ABc,令

p(abc)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC．

旁心性质：（1）BIAC90A,BIBCBICCA,（对于顶角B，C也有类似的式子）；

（2）（3）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIADBDC（对于BIB,CICIAIBIC(AC)；

有同样的结论）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R．

23．三

角

形

面

积

公

式

：

SABC

11abca2b2c2

ahaabsinC2R2sinAsinBsinC

224R4(cotAcotBcotC)

R为外接圆半径，其中ha表示BC边上的高，r为内切圆半径，p(abc)．prp(pa)(pb)(pc)，24．

三

角

形

中

内

切

圆，旁

切

圆

和

外

接

圆

半

径的相

互

关

系

：

ABCABCABCABC

r4Rssnsn;nra4Rscncs,srb4Rcsscn,src4Rccsss222222222222

r

a

rrr1111,rb,rc;.BCACABrarbrcrtantantantantantan

222222

25． 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 26．

BPCQAR

1．（逆定理也成立）PCQARB

梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线． 27．

塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点

AZBXCY

=1． ZBXCYA的充要条件是28． 29． 30． 31． 32． 33． 34． 35．

塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．

笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连

交于S，则AS一定过边BC的中点 分线交于一点． CT交于一点．中心．．

这个四边形的牛顿线．

于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

第四篇：高中几何证明

高中几何证明

一、已知平行四边形ABCD，过ABC三点的圆O1，分别交AD.BD于E.F、过CDF三点的圆O2交AD于G。设圆O1.O2半径分别为R,r。

1.求证AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^

2连接AC、GC。利用两个圆转化角的关系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD

于是两个三角形ACG和ADC相似。第一问由此立得。

同样利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圆周角”，说明GC与圆O1相切。于是GC^2=GE*GA。

在两个圆中利用正弦定理，不难发现R/r=BC/CD=AD/CD。此时

AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^

2最后一个等式仍然源于前述相似

二、因为不能上传图片，所以口叙述一下，高手们都可以想象出来吧

在一个圆的圆上选不重合的四点，，连接成一个非平行四边形非梯形的四边形，也就是内切四边形吧，然后延长其中两条边，交于点A，再延长另外两条边交于点B，然后过A点做圆的两条切线，切线交圆于点C和D，怎样证明B,C,D共线?

用调和点列的方法较为容易但方法的掌握不在高中的要求内

下面采用简单的定理来证明比较麻烦

首先，设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点p，AD与BC交于点Q，过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：p、F、R、E共线.设OQ交EF于L,pR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD，并延长AL到S.由Menelaus定理，AB/Bp×pC/CD×DQ/QA=1-----------------

1由Ceva定理，AB/Bp×pC/CD×DM/MA=1-----------------

2由1、2，DM/MA=DQ/QA------------------*

另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO-3

由切割线定理，QE^2=QD×QA-4

由3，4，QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四点共圆

第五篇：初一常用几何证明的定理

初一常用几何证明的定理总结

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P（a，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a，b）在x轴下方，则b<0。

(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0，0）

（4

(5)