空间向量在几何中的应用

第一篇：空间向量在几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

一.平行问题

（一）证明两直线平行

A,Ba;C,Db,a|| b

若知AB(x1,y1),CD(x2,y2),则有x1y2x2y1a||b

方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。

(二)证明线面平行

线 a面,A,Ba,面 的法向 n，若ABn0ABnAB .方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一

向量，证明这一向量与法向量垂直(即证

明数量积为0)，则可得线面平行。

(三)面面平行

不重合的两平面 与 的法向量分别是  m 和 n，mn||

方法思路：求两平面的法向量，转化为证明

两法向量平行,则两平面平行。

二.垂直问题

(一)证明两直线垂直

不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a 和 b，则有ab0ab

方法思路：找两直线的方向向量(分别在两直线上各取两点得两向量)，证明两向量的数量积为0,则可证两直线垂直。

(二)证明线面垂直  直线 l的方向向量为 a，e1,e2是平面 的一组基底（不共线的向量）, 则有 ae10且ae20a

方法思路：证明直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)与

平面内两不共线向量的数量积都为0（即都垂直），则可证线面垂直。

(三)证明面面垂直 不重合的平面 和 的法向量分别为m 和 n，则有 mn0

方法思路：找两平面的法向量，只需证明两向量

数量积为为0,则可证明两平面垂直。

三.处理角的问题

(一)求异面所成的角

a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,a,b所成的角为,则有cos|cosAB,CD| ABCD|AB||CD|

方法思路：找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式。

(但要理解异面直线所成的角与向量的夹角相等或互补)。

(二)求线面角

设平面 的斜线 l 与面所成的角为，若A,Bl,m是面的法向量，mAB 则有sin.mAB

方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为

向量的夹角问题,再套公式。(注意线面角与两

向量所在直线夹角互余）

(三)求二面角

方法1.设二面角l 的大小为 ，若面， 的法向量分别为 m 与 n.mn(1)若二面角为锐二面角，即(0,)则有cos.2mn

(2)若二面角为钝二面角，即(,)2 mn则有cos.mn



四.处理距离问题

(一)点到面的距离d 任取一点Q 得 PQ, m是平面 的法向量，则有：点P到 PQm面 的距离d=PQcos(向量PQ在法向量m 的投影的长度)|m|

(二)求两异面直线的距离d

知a,b是两异面直线，A,Ba,C,Db，找一向量与两异面直线都垂直的向量m，ACm则两异面直线的距离 dACcos＝|m|

方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m,然后分别在两异面直线上各任取一点A,C,则其距 ACm离 d 就是AB在向量m上的投影的长度,距离d|m|

Ps：向量 m 与异面直线a、b 都垂直，可用方程组求出 m 的坐标.五.如何建立适当的坐标系

1.有公共顶点的不共面的三线两两互相垂直

例如正方体、长方体、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且过直角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥等等。

2.有一侧棱垂直底面

OC底面OAB

（）1OAB是等边三角形

（2）OAB是以OB为斜边的直角三角形

(1)(2)

(3)PA底面ABCD，且四边形ABCD是菱形

(4)PA底面ABCD，且四边形ABCD是ABC＝60的菱形

(3)

3.有一侧面垂直于底面

(4)

(1)在三棱锥S－ABC中,ABC是边长为4的正三角形，平面SAC底面ABC,且SASC(2)四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ADC60的菱形

.(1)(2)

两平面垂直的性质定理:若两面垂直,则在其中一面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化为有一线垂直于底面的问题.4.直棱柱的底面是菱形正四棱锥正三棱锥

第二篇：浅谈向量在几何中的应用

浅谈向量在几何中的应用

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。

第三篇：空间向量在立体几何中的应用

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

第四篇：28.空间向量在立体几何中的应用

高三数学一轮复习材料命题：王晓于杰审题：刘臻祥2007-8-2

2§5.3空间向量在立体几何中的应用

NO.28

【基础知识梳理】

1.直线的方向向量与直线的向量方程

⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置

① 给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP=_________（Ⅰ），这时点P的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l的____________，向量a称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t，满足等式，如果在l上取，则（Ⅱ）式可化为 O=_________（Ⅱ）

OPOAtABOAt(OBOA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M是线段AB的中点，则O=_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行

① 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1和l2重合__________.② 已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或 l在α内存在两个实数x，y，使v=__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线l1和l2成的角为θ（锐角），方向向量分别为v1和v2，则有l1⊥l2__________，cosθ=__________.2.平面的法向量与平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的________或说向量n与平面α________.⑵设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，适合条件AMn0----①的点M的集合构成的图形是________.如果任取两点M1、M2（M1、M2和A三点不共线），且AM10，AM20，则n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.满足条件①的所有

点M都在平面AM1M2内.①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论：如果A、B、C三点_____________，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式=_________.⑷ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合_____，α⊥β______________

⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和

____________垂直.【基础知识检测】

1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），则l1与l2的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

2.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，-1m，2），则m=______.24.已知平面α和β的法向量分别为u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，则x+y=______.5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线AC1与直线BC所成的角为_______.【典型例题探究】

题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a的正四面体ABCD中，M、N分别为边AB、CD的中点，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.D

变式训练：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1和A1A的中点,（1）求异面直线BA1和CB1所成的角；（2）求证：A1B⊥C1M.题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N

分别是对角线A1B与面对角线A1C1的中点.求证：MN∥侧面AD1.变式训练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

题型3（空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引射线OA，OB，OC，OD，在其上分别取E，F，G，H，并且使OEOFOGOHk（k OAOBOCOD

为常数）.求证：E，F，G，H四点共面.变式训练：求证：四点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限时过关检测】班级学号姓名分数

选择、填空题每小题10分

1.对空间任意一点O，若311，则A、B、C、P四点（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

2.设P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC,PB⊥AC,则 P在该平面内的射影是△ABC的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

3.设l1的方向向量为=（1，2，-2），l2的方向向量为=（-2，3，m），若l1⊥l2，则m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量是_________.5.（20分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中点.（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，⑴ 求直线BE与A1C所成的角；⑵ 在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由.【体验高考】(每小题10分)

1．（2007全国Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°

第五篇：空间向量的应用[定稿]

1． 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。2． 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。

3． 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。

1.a，b是两个非零的向量，，是两个平面，下列命题正确的是（）

A.a∥b的必要条件是a,b是共面向量 B.a,b是共面向量，则a∥b C.a∥，b∥，则∥

D.a∥，b∥，则a,b不是共面向量）

2.关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：其中真命题的序号是（①m//,n//且//，则m//n；

②m,n且，则mn；

③m,n//且//，则mn； ④m//,n且，则m//n.3.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，则△BCD是（）三角形

4.空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：则所有的正确命题为。①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE异面 5． 已知四边形ABCD满足，ABBC0，BCCD0，CDDA0，DAAB0，则该四边形

ABCD为

A．平行四边形

B．空间四边形

C．平面四边形

（D．梯形）

6． 已知非零向量a,b及平面，若向量a是平面的法向量，则ab0是向量b所在直线平行于平面或在平面内的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7． 已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：

①ABCDACBDADBC；②|ABACAD|2=|AB|2|AC|2|AD|2． 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为 A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假

（D．①假、②真）

BAC8． 在直三棱柱ABCA1B1C1中，．有下列条件：①ABACBC；②ABC1AC1

BAC；③A．其

中能成为BC1AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）_________．

9．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作

EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小． A

第9题

B