第一篇:向量在立体几何中的应用导学案
课题:§2.4向量在立体几何中的应用
(一)编写:审核:时间—、教学目标 :、复习近平面几何图形的性质。
2、理解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
二、问题导学:
1、平面几何图形的性质
2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。
建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将证明线段相
等,转化为证明向量的相等,求线段的长,转化为求向量的; 证明线段、直线平行,转化为证明向量;
证明线段、直线垂直,转化为证明向量;
几何中与角相关的问题,转化为向量的问题;
对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立,通过代数(坐标)运算解决问题。典型例题
例
1、如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2。
求证:AD⊥BC。
例
2、已知A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1)
(1)求,和ACB的大小,并判断△ABC的形状;
(2)若M为BC边的中点,求||。
三、作业
ABCD中,错误的式子是()
A、B、
C、ABBCACD、ADABAC2、已知A(2,1)、B(3,2)、C(-1,4),则△ABC是()
A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形
3、△ABC是等边三角形,设a,b,当|atb|取最小值时,t=()
13A、B、1C、2D、224、已知四边形ABCD的顶点坐标A(1,1),B(1,3),C(3,3),D(4,1),则
四边形ABCD为()
A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形
5、在平面上有A、B、C三点,设mABBC,nABBC,若m与n的长度恰好相等,则有()
A、A、B、C三点必在同一条直线上B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C、△ABC必为直角三角形且∠B=90º D、△ABC必为等腰直角三角形
6、设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2)若表示向量4a,4b2c,2(ac),d
的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为()
A、(2,6)
B、(-2,6)
C、(2,-6)
D、(-2,-6)
7、已知点A(,1),B(0,0),C(3,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有,其等于()A、2B、C、-
3D、
38、如果直线xyt与圆x2y24相交于A、B两点,O为原点,如果与的夹角为
,则t 的值为。
39、如图,已知AD,BE,CF分别是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于同一点。
§2.4向量在解析几何中的应用
(二)执笔人:郑才红葛红时间—、自主学习例4—6填空:
(1)设直线l 的倾斜角为,斜率为k, 向量(a1,a2)平行于l,则称为l的,可以根据向量的知识得到向量(1,k)与向量共线,因此(1,k)也是l 的方向向量。
(2)已知直线l:AxByC0,则向量(A,B)一定和l,向量(A,B)
称为l 的。
(3)已知直线l1:A1xB1yC10,l1:A1xB2yC20,则n1(A1B1)与
l1垂直,n2(A2,B2)与l2 垂直,于是l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角(或其
补
角)
设
l
1与
l
2的夹
角
是
,则
有
nn2
|cos|cosn1,n2||1|n1||n2|
二、典型例题:
已知点P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在直线AQ上,满足
PAAM0,,当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程。
三、作业:
1、已知点A,B的坐标为A(4,6),B(-3,),与直线AB平行的向量的坐标可以
2是()
①(14,3)
3②(7,)③(
921
4,3)④(-7,9)3
A、①②B、①③C、①②③D、①②③④
2、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,0),B(2,2),若点C满
足t(),其中tR,则点C的轨迹方程为()
A、(x2)2(y2)22C、2xy10
B、xy10 D、2xy203、直线3x2y60与向量n(2,3)的位置关系为()A、平行
B、相交
C、垂直
D、重合
4、若对n个向量a1,a2,......,an,存在n个不全为0的实数k1, k2,„„,kn,使得
,依此k1a1k2a2.....knan0成立,则称向量a1,a2,...,an为“线性相关”
规定,能说明a1(1,0),a2(1,1),a3(2,2)“线性相关”的实数k1, k2, k3依次可以取。(写出一组数值即可,不必考虑所有情况)。
5、过点A(3,2)且与直线l:4x3y90平行的直线方程为,过点A且与l垂直的直线方程为。
2
6、已知向量a(x,x)与向量b(2x,3)的夹角为钝角,则实数x的取值范围
是
7、已知向量a,b的夹角为60º,|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab),则m的值为
8、直角坐标平面xoy中,若定点A(1,2)与动点P(x, y)满足OPOA4,则点P的轨迹方程是。
§2.4向量在物理中的应用
(三)执笔人:郑才红葛红时间
—、自主学习:
1、力向量包括大小、方向和作用点,如果大小和方向相同的两个力,作用点不同,它们是
2、同一平面上,作用于同一点的两个力f1,f2或三个力f1,f2,f3处于平衡状态,可分别用等式;来表示。
3、一质点在运动中每一时刻都有一个向量。
二、典型例题:
例
1、如图,一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河
水的流速为2km/h,求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。
例
2、某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为
2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。
三、作业
1、当两人提起重量为|G|的书包时,夹角为,用力为||,则三者的关系式为()
|G|
A、|F|
2cos|G|C、F
2cos
|G|B、|F|
2sin
|G|D、|F|
2cos2、已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)且A(1,1),则合力F1F2F3的终点坐标为()A、(9,1)
B、(1,9)
C、(9,0)
D、(0,9)
3、两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90º时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120º时,合力大小为()A、40N
B、2N
C、2N
D、N4、一条河宽为400米,一船从A出发航行垂直到达河正对岸的 B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需的时间为()A、1.5分钟B、1.8分钟C、2.2分钟D、3分钟
5、河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为()A、10m/s
B、226m/s
C、46m/s
D、12m/s6、一船从某河一岸驶向另一岸,船速为v1,水速为v2,已知垂直到达对岸,则()A、|v1||v2|C、|v1||v2|
B、|v1||v2|
D、|v1||v2|
第二篇:空间向量在立体几何中的应用
【利用空间向量证明平行、垂直问题】
例.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F。
(1)证明:PA//平面EDB;(2)证明:PB⊥平面EFD;(3)求二面角C—PB—D的大小。
如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点。设DC=a。
(1)证明:连接AC,AC交BD于G,连接EG。依题意得。
∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为,∴则而,∴PA//平面EDB。
(2)依题意得B(a,a,0),∴PB⊥DE由已知EF⊥PB,且
(3)解析:设点F的坐标为又,故,所以PB⊥平面EFD。,则
从而所以
由条件EF⊥PB知,即,解得
∴点F的坐标为,且∴
即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。
∵,且
∴∴∠EFD=60°所以,二面角C—PB—D的大小为60°。
点评:(1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.
(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—
中,E、F分别是,的中点,求:
(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值;(2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。
解析:不妨设正方体棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2)(1)由,得
又,∴,即所求值为。
(2)∵
∴
∴,过C作CM⊥AE于M,则二面角C—AE—F的大小等于,∵M在AE上,∴设则,∵
∴
又∴
∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评:(1)两条异面直线所成的角(2)直线与平面所成的角
求得,即
求得,即。
或
可以借助这两条直线的方向向量的夹角
主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求:
(1)异面直线AM与PQ所成角的余弦值;(2)M到直线PQ的距离;(3)M到平面AB1P的距离。解析:(1)方法一:
如图,建立空间直角坐标系B—xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),∴,中,AB=4,AD=6,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
方法二:,∴
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
(2)∵,∴上的射影的模
故M到PQ的距离为(3)设
是平面的某一法向量,则,∵因此可取,由于
∴,那么点M到平面的距离为,故M到平面的距离为。
点评:本题用纯几何方法求解有一定难度,因此考虑建立空间直角坐标系,运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角,在新高考试题中已多次出现,但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离,线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深,随着新教材的推广使用,这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法,供大家参考。
(1)平面的法向量的求法:设联立后取其一组解。,利用n与平面内的两个向量a,b垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,(2)线面角的求法:设n是平面的法向量,是直线l的方向向量,则直线l与平面所成角的正弦值为。
(3)二面角的求法:①AB,CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小为。
②设或其补角。
分别是二面角的两个平面的法向量,则就是二面角的平面角
(4)异面直线间距离的求法:
是两条异面直线,n是的公垂线段AB的方向向量,又C、D分别是
上的任意
两点,则。
(5)点面距离的求法:设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则点B到平面的距离为。
(6)线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。
第三篇:向量方法在立体几何教学中的应用
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向量方法在立体几何教学中的应用
作者:王龙生
摘 要: 在江苏省对口单招数学试卷中,立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一,是沟通代数与几何的工具之一,体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性,可以将几何图形数量化,从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题,能避免构图和推理的复杂过程,有利于降低解题难度.关键词: 向量 立体几何教学 数形结合在江苏省对口单招数学试卷中,立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一,是沟通代数与几何的工具之一,体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性,可以将几何图形数量化,从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题,避免构图和推理的复杂过程,有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明
二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明
由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂,加上学生的空间感比较薄弱,因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直,其优越性非常明显,具体体现在:两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算,所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直,都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”
华罗庚关于“数形结合”有一句名言:“数缺形时少直观,形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一,是沟通代数与几何的工具之一,体现了数形结合的思想.因此,充分掌握、运用好向量知识,可以提高学生的数形结合能力,培养学生发现问题的能力,帮助学生理清数形结合呈现的内在关系,把无形的解题思路形象化,有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题,能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证,有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献:
[1]单招生—相约在高校,数学:基础知识梳理.[2]单招零距离—数学:总复习方案.[3]吕林根,张紫霞,孙存金.立体几何学习指导书.
第四篇:28.空间向量在立体几何中的应用
高三数学一轮复习材料命题:王晓于杰审题:刘臻祥2007-8-2
2§5.3空间向量在立体几何中的应用
NO.28
【基础知识梳理】
1.直线的方向向量与直线的向量方程
⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置
① 给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量AP=_________(Ⅰ),这时点P的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l的____________,向量a称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O,点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式,如果在l上取,则(Ⅱ)式可化为 O=_________(Ⅱ)
OPOAtABOAt(OBOA),即O=_________(Ⅲ).(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)都叫做空间直线的向量参数方程,它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M是线段AB的中点,则O=_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行
① 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2或l1和l2重合__________.② 已知两个非零向量v1,v2与平面α共面,一条直线l的一个方向向量为v,则l∥α或 l在α内存在两个实数x,y,使v=__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设直线l1和l2成的角为θ(锐角),方向向量分别为v1和v2,则有l1⊥l2__________,cosθ=__________.2.平面的法向量与平面的向量表示
⑴ 已知平面α,如果向量n的基线与平面α垂直,则向量n叫做平面α的________或说向量n与平面α________.⑵设A是空间任一点,n为空间任一非零向量,适合条件AMn0----①的点M的集合构成的图形是________.如果任取两点M1、M2(M1、M2和A三点不共线),且AM10,AM20,则n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.满足条件①的所有
点M都在平面AM1M2内.①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论:如果A、B、C三点_____________,则点M在平面ABC内的充要条件是,存在一对实数x,y,使向量表达式=_________.⑷ 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β或α,β重合_____,α⊥β______________
⑸ 三垂线定理:如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理:如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直,则它也和
____________垂直.【基础知识检测】
1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是()
A.平行B.相交C.垂直D.不确定
2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()
ABCD
3.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,-1m,2),则m=______.24.已知平面α和β的法向量分别为u1=(-1,x,4)和u2=(y,1,-2),若α∥β,则x+y=______.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线AC1与直线BC所成的角为_______.【典型例题探究】
题型1.(异面直线所成的角)在棱长均为a的正四面体ABCD中,M、N分别为边AB、CD的中点,求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.D
变式训练:已知直三棱柱ABD-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1和A1A的中点,(1)求异面直线BA1和CB1所成的角;(2)求证:A1B⊥C1M.题型2.(利用空间向量证明平行、垂直问题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N
分别是对角线A1B与面对角线A1C1的中点.求证:MN∥侧面AD1.变式训练:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()
3A.相交B.平行C.垂直D.不能确定
题型3(空间中点共线、点共面问题)已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引射线OA,OB,OC,OD,在其上分别取E,F,G,H,并且使OEOFOGOHk(k OAOBOCOD
为常数).求证:E,F,G,H四点共面.变式训练:求证:四点A(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),D(1,2,5)共面.【限时过关检测】班级学号姓名分数
选择、填空题每小题10分
1.对空间任意一点O,若311,则A、B、C、P四点()488
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断
2.设P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥BC,PB⊥AC,则 P在该平面内的射影是△ABC的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
3.设l1的方向向量为=(1,2,-2),l2的方向向量为=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m= ____.4.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是_________.5.(20分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1AB=1,2
M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角.6.(20分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点,⑴ 求直线BE与A1C所成的角;⑵ 在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF;若不存在,说明理由.【体验高考】(每小题10分)
1.(2007全国Ⅰ)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
()
A.1234B.C.D. 5555
2.(2007四川)ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()..
A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1角为60°
第五篇:空间向量在立体几何中的应用(一) 课时教案
空间向量在立体几何中的应用
(一)——求空间两条直线、直线与平面所成的角
知识与技能:引导学生探索并掌握利用空间向量求线线角、线面角的基本方法。、过程与方法:通过对例题的研究求解,归纳总结,从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方便,激发学生对数学学习的热情,提高数学素养,锻炼数学品质,发展数学思维。情感态度价值观:课堂中进行“师生交流”与“生生交流”,有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力,让学生获得成功的体验,树立学好数学的信心 教学重点、难点
重点:利用空间向量解决线线角、线面角问题的基本思路。难点:在解题中的灵活应用。
教学方法:课前预习、独立思考、课堂讨论、当堂训练、课后反思相结合。教学过程:
一、创设情境:
引例:(期中考试卷19题)在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD=AC=BD=6,点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。(1)证明直线AC直线BD;
(2)求异面直线EF与CG所成的角(结果用反三角表示)。二.探索与发现
1、空间两条直线所成的角
设空间直线a与b所成的角为(02),它们的一个方向向量分别为d1l1,m1,n1和d2l2,m21,n2,d1与d2的夹角为(0).,根据空间两条直线所成角的定义,可知与的关系是
(0)2
()2于是得coscos
当ab时,0,0或,当ab时,0,
2、空间直线与平面所成的角
2。当直线l与平面相交且不垂直时,设它们所成的角为(02),d是直线l的一个方向向量,n是平面的一个法向量,d与n的夹角为,那么与有如下关系:
(0)22 ()22当l或l时0,于是有sincos。三.学习应用
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AD、AB的中点。(1)求异面直线B1E与C1F所成角的大小;(2)求证:异面直线AC1与B1C垂直;(3)求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。例2:讨论完成引例
例3:四面体ABCD中,AB、BC、CD两两互相垂直,AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD和BE所成角的大小为arccos四.创新发展
例4:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点。
(1)在棱BB1上是否存在一点M,使D1M平面B1AE,为什么?
(2)在正方体表面ABB1A1上是否存在点N,使D1N平面B1AE,为什么? 五.课堂小结:
利用空间向量处理立体几何的问题,可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算,有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,既直观又容易接受,降低了立体几何学习的难度,有利于丰富我们的思维结构,提高运用数学知识分析和解决问题的能力。
六、课后作业
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AD、AB的中点。
D1A1B1C12;,当l时,2,0.1010,求直线DE与平面BCD所成角的大小。
(1)求异面直线B1E与C1F所成角的大小;(2)求证:异面直线AC1与B1C垂直;
D EAFBC(3)求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。
2、在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD=AC=BD=6,点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。
(1)证明:直线AC直线BD;(2)求异面直线EF与CG所成的角(结果
反三角表示)。
3、四面体ABCD中,AB、BC、CD两两互相垂直,AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD和BE所成角的大小为arccos
CBEAD1010,求DE与平面BCD所成角的大小。
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点。
(1)在棱BB1上是否存在一点M,使D1M平面B1AE,为什么?
(2)在正方体表面ABB1A1上是否存在点N,使D1N平面B1AE,为什么?
A1D1B1C1DABC