法向量在立体几何解题中的应用

第一篇：法向量在立体几何解题中的应用

龙源期刊网 http://.cn

法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第二篇：分析法在立体几何问题中应用

分析法在立体几何问题中应用

立体几何在高中是一个难点，特别是添辅助线，让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的，比如要证明线面平行，只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可；要证明两条异面直线垂直，只要构造一个包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可，但是如何去寻找所需要的直线与平面呢？幸好空间向量的引入，使得立体几何也可以转化成代数问题进行计算，不需要添加辅助线，只要能建立适当的空间直角坐标系，通过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违，那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决，因此如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来，利用分析法讨论两类问题：如何添加辅助线和建立适当空间直角坐标系.一、分析法解决辅助线问题

例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：B1D平面ACD1.分析：要证明B1D平面ACD1，只要证明B1D垂直于平面ACD1内的两条相交直线.利用分析法，可以将B1D平面ACD1看成是已知条件，则根据线面垂直的定义，有B1D垂直于平面ACD1内的所有直线，所以只要选取其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明B1DAC和B1DCD1，即两条异面直线垂直，常用的方法就是构造线面垂直.先来证明B1DAC.利用分析法，B1DAC可以看成是已知条件，由于A、C、D处于下底面，只要过D有一条垂直垂直于AC的直线即可，因为底面是一个正方形，故对角线互相垂直，所以只要连接BD，就应有AC平面BB1D.这样问题就转化为证明AC平面

BB1D.由于ACBD,ACB1B，即可证明.然后同理可证B1DCD1.证明过程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

评注：其实这个题，如果用三垂线定理，应该是比较容易想到连接BD，因为BD是B1D在下表面内的射影。但由于课改后，在必修2中对三垂线定理只字不提，增大了此类题目的难度.类似地，《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修2的73页上有这样一个探究题：如图，直四棱柱ABCDABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：连接A'C'，只要A'C'B'D'，就有A'CB'D'.C

例2 如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要证明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一条直线与SA平行.利用分析法，可以将SA//平面MDB看成已知条件，根据线面平行的性质定理，过SA的平面只要与平面MDB相交，则SA与交线平行.题目中包含SA有两个平面只有平面SAB和平面SAD，而这两个平面与平面MDB的交线在这个几何体的外面，不太好找.我们可以改变策略，在四棱锥中构作一个包含SA的平面.根据确定平面的公理2的推论：一条直线和直线外一点可以唯一确定一个平面，我们选取点C，连接AC交BD于O，构作平面SAC，它与平面MDB的交线是OM，故只要证明SA//OM.由于底面是平行四边形，M是SC的中点，易得

SA//OM.证明过程略.评注：由于线面平行的话，直线上所有点到平面的距离相等，而且垂直于同一个平面的两条直线平行，两条平行直线也可确定一个平面，有时也利用平行四边形构作平面.如下题.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B、AC上的点，A1MAN.求证：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空间直角坐标系

利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性，因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介绍了空间直角坐标系，重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，以及空间向量的模长，从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转化为代数问题的关键，所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来，利用分析法谈谈建立空间直角坐标系的问题.例3 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC45，AB

2，BC

SASB

（1）求证：SABC；

（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空间直角坐标系，最好有一个线面垂直.先来分析下底面，由于下底面是ABC45的平行四边形，且AB

2，BC故连接AC，有ABC是已CAB为直角的等腰直角三角形.取BC的中点为O，连接AO，则AOBC

.利用分析法，将SABC看成已知条件，所以应有BC平面SAO，则SOBC.因为侧面SBC底面ABCD，根据面面垂直的定义，有SO底面ABCD.故可取O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OS所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.证明过程略.附：分析法得到意想不到的结果

1.设a,b,c都为正数，求证：abc(abc)(bca)(cab).分析：由于a,b,c都为正数，当abc0,bca0,cab0时，可以将a,b,c看成是三角形的三边.由不等式的右边联想到海伦公式，有

abc(abc)(abc)(bca)(cab)(abc)16S

abcabc16r()

4R2

得R2r（其中R,r分别为三角形的外接圆与内切圆的圆心）2.在数列{an}中，已知anln2.解Snln下先证明ln

12ln1

23ln1

nn1，Sn是{an}的前n项和，求证：Sn

n

1n

.ln

12n1

ln()ln，n123n1n11，只证lnxx，令f(x)lnxx(0x1)，n1n1n111x

0，又0x1，得f(x)0，∴f(x)为增函数，则f(x)1

xx

，令x

得f(x)f(1)ln1110，即lnxx0，有lnxx，于是ln

1n1



1n1



1n

.3.设函数f(x)lnxpx1(pR)，（1）求f(x)极值点；

（2）当p0时，若对于任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围；（3）证明：当nN，n2时，ln22



ln33



lnnn



2nn12(n1)。

解：（1）f(x)的定义域为(0,)。当p0时，f(x)

1x

p0，f(x)在其定义域上是增函数，故没有极值点。

当p0时，若x(0,)，则f(x)

p1p

11pxx

0

；若x(,)，则f(x)

p

11pxx

0，于

是f(x)有极小值点x。

1p

（2）由（1）知，p0时，f(x)有极小值点f()ln

p

1p，由于f(x)在其定义域上只

1p

有一个极值点，因此f(x)的最大值为f()ln

p

。所以f(x)0ln0p1。

1x

（3）由（2）知，当p1，x0时，f(x)0lnxx1

于是

ln22

lnxx

1。



ln33



lnnn

(1

12)(1

13)(1

1n

1n)

(n1)(又当nN，n2时，12



)。

1n





1(n1)n

1314



1n



1n1

1n131，于是

1n1)1n





1n

（12

13)()（12



12)



1n1，∴

ln22



ln33



lnnn

(n1)(

(n1)(

n1)

2nn12(n1)，即

ln22



ln33



lnnn



2nn12(n1)。

评析：导数进入中学数学后，为中学不等式证明提供了一个强大工具。正因为如此，通过构造函数并利用导数证明不等式已成为高考数学试题中一道亮丽的风景线。本题第（2）问实际上已经作出暗示，对比待证不等证式与第（2）问所得结论，证明思路自然生成。

第三篇：向量法在立体几何中的运用

龙源期刊网 http://.cn

向量法在立体几何中的运用

作者：何代芬

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第27期

摘 要：在近几年的高考中利用向量的模和夹角公式求立体几何中的线段长和两直线的夹角已多次出现，随着新一轮课改的推进，直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何问题中的应用必将成为高考命题的一个新的热点.直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”，“点面距离”，“线面夹角”，“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用，涉及的题目用传统立体几何法求解有一定的难度，而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力.关键词：高中数学；立体几何；向量法

向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法，给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和“平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。

例题1 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是 A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点。

一、求点线距离

第四篇：空间向量在立体几何中的应用

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

第五篇：空间向量方法解立体几何教案

空间向量方法解立体几何

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

数x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求满足的实

分析;结合图形，从向量

用、、出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都表示出来，即可求出x、y、z的值。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理；

②证明这两个平面的法向量是共线向量．

（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直． 【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中点，求：

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。，M是A1C1的中点，P在线

本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。

（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

（2）线面角的求法：设n是平面

向量，则直线与平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向

所成角为则sin

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角面直线，则二面角的大小为。的两个面内与棱l垂直的异

②设分别是二面角的两个平面的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

（4）异面直线间距离的求法：向量，又C、D分别是

是两条异面直线，n是。的公垂线段AB的方向

上的任意两点，则

（5）点面距离的求法：设n是平面平面的距离为。的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

练习：

12

1.若等边ABC的边长

为，平面内一点M满足CMCBCA，则

MAMB_________

2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.