向量在解决高中数学问题中的应用研究

第一篇：向量在解决高中数学问题中的应用研究

向量在解决高中数学问题中的应用研究

【摘 要】在高中数学教学中，向量是代数形式与几何形式相互结合的点，是高中数学知识的一个重要交汇点，同时也是解决数学问题的重要工具。在高中数学教学中，向量是重要的基础知识。学生学好向量对其后期学习具有重要的影响。就向量教学而言，学生在学习的过程中更侧重于工具的作用性。本文就向量解决高中数学问题的应用进行单独分析，以期能够对高中向量教学有更深了解。

【关键词】向量；高中数学；应用

向量在高中数学中具有代数性质和几何性质。从数学发展历史来看，向量是“数、运算以及量”形式不断发展的表现形式，同时也是高考数学必须考的数学知识。在高中数学教学内容中增添向量的知识点，促使几何和代数紧密相连。在数学问题解决的过程中，向量能够为其提供新的思想和方法。将向量作为解决数学工具，能够将几何问题的逻辑推理性转化为代数的运算，这样就促使数学问题解决得更清晰、简洁。向量是高中数学教学内容的重要基础知识。但是，在解决数学问题的过程中应用向量知识的方面却非常少。其实在数学问题解决的过程中能够应用向量的知识，可以达到快速解题的目的。

一、学习向量的必要性

向量的学习始于高中数学。学生在高中阶段开始学习向量。数学与物理之间的联系主要是通过向量体现出来的。在高中物理学习中，针对位移、速度、加速度以及力等相关知识都需要运用到向量的加减。由此可见，就高中物理问题解决而言，全面学习向量具有一定的必要性。在素质教育实施的过程中，物理学与数学已经获得了应有的重视和发展。学习向量能够为物理问题的解决提供必要的工具，将物理问题引入到向量的学习中能够提升学生学习数学的兴趣。在向量学习中，还有一个空间向量的概念。空间向量对立体几何问题的解决具有重要的意义。立体几何能够应用空间向量，则会对教学方法、教学内容、学生数学思维的培养具有重要的影响。教师在教学活动的过程中通过对空间向量的教学能够培养学生数学逻辑思维的能力。另外，在解析几何学习中应用向量，能够为解析几何提供重要的工具，促使传统的几何和现代的数学知识相互连接。由此可以看出，学生在高中阶段学习向量具有其必要性。无论是从学生的学习而言还是教师的教学质量，都具有一定的必要性。

二、向量在高中代数问题中的应用

在高中数学教学中，代数占有大部分的内容。其主要研究的是数、数量、关系与结构的数学分支。高中代数的内容包括了数列、不等式、方程、统计与概率、基本函数和三角函数等等。在解决代数问题中，向量能够提供多种方法。笔者就对此进行简单的分析。

【例1】[2012年高考]若平面向量 a→，b→满足：丨2 a→-b→丨丨≤3，则 a→×b→的最小值是多少。

【答案】这道高考题的答案是 a→×b→的最小值是-9/8

【解析】

丨2 a→-b→丨≤34a→2+b→2

≤9+4 a→×b→

4a→2+b→2≥4丨 a→丨丨b→丨

=>9+4a→×b→≥-4a→×b→

a→×b→≥-9/8

在本题解析的过程中，其中4a→2+b→2≥4丨 a→丨丨b→丨≥-4a→×b→用的是不等式a→2+b→2=丨 a→丨2+丨b→丨2≥丨 a→丨丨b→丨以及丨 m→丨丨n→丨≥-m→×n→。通过这道高考数学题目我们可以看出，应用这种方法进行推广，也就是在数学题目解决中应用不等式的重要结论，经过几次不同的放缩，就能够得到相应的结果。

【例2】[2011年浙江高考（文）]若实数x，y满足x2+y2+xy=1，那么x+y的最小值是多少。

【答案】这道高考题的答案是x+y的最小值是2√3―/3。

【解析】这道题目有几种解题方法。（解法一）：假设 m→=（1/2x+y，2√3―/2x），n→=（1，1//3），进而可以得出丨 m→丨丨n→丨≥-m→×n→{[（1/2x+y）2+（√3―/2x）2]开根号}{[（1+1/3）]开根号}≥1/2x+y+x/2

x+y≤[（x2+y2+xy）开根号]×2√3―/3=2√3―/3当且仅当存在两种条件，（1/2x+y）×1/√3―=√3―/2x和x2+y2+xy=1。也就是在x+y=√3/3的情况是，x+y存在最大值2√3―/3

（解法二）m→=（x+1/2y，√3―/2y），n→=（1，√3―/3）丨 m→丨丨n→丨≥m→×n→就可以得出x+y≤2√3/3。在解这道题目的过程中，需要应用到不等式丨 m→丨丨n→丨≥m→×n→依据不同的向量m→，n→。在解题的过程中，其关键部分就是向量m→，n→这两种方法都假设了a2+b2=x2+y2+xy=1，ac+bd=x+y。采用待定系数的方法就能够求出c，d的值。应用这种方法解题具有一定的灵活性，在实际操作的过程中那个具有可变通性。

【例3】求函数f（x）=[（x2+2x+2）开根号]-[（x2-2x+2）开根号]的值域

【解析】f（x）=[（x2+2x+2）开根号]-[（x2-2x+2）开根号]={[（x+1）2+1]开根号}-{[（x-1）2+1]开根号}。假设a→=（x+1，1），b→=（x-1，1），a→-b→=（2，0），则f（x）=丨 a→丨-丨b→丨。根据三角不等式-丨 a→-b→丨≤丨 a→丨-丨b→丨≤丨 a→-b→丨以及a→，b→不共线的值域值域（-2，2）。在解题的过程中应用三角不等式-丨 a→-b→丨≤丨 a→丨-丨b→丨≤丨 a→-b→丨以及其等号的条件。

通过这几个例子就可以充分看出向量在解决最值、不等式以及函数值域的过程中具有广泛的应用。并且在解题的过程中方法也不是唯一的，但是其解题思路都是利用向量的相关知识。这样的解题方法非常灵活，需要教师和学生在实践中不断的探索。

三、向量在高中几何问题中的应用

向量具有形的特点同时还具有优良的运算性质。向量的线性运算和数量运算具有较为鲜明的几何背景。因而对于某些需要证明的平面几何命题，可以将向量运用到其中。这样向量就能够为几何证明提供新的途径。有些几何问题的常规解决方法非常繁杂，运用向量进行行和数的转化，能够促使解题过程得到简化。

【例1】已知 D 是△ABC所在平面内一点，AD的中点为E，BE的中点为F，CF的中点为G。证明：使得两点D与G重合的点D是唯一的。

【证明】

AG→=1/2（AF→+AC→）=1/2[1/2（AB→+AE→+AC→]

=1/4AB→+1/8AD→+1/2AC→

因为AD→=AG→ 7/8AD→=1/4AB→+1/2AC→ 所以AD→=2/7AB→+4/7AC→

因为AB→，AC→是确定得向量，所以 AD→是唯一的一个向量，则△ABC所在的平面内使得两点D与G重合的点D是唯一的。在解决此类问题的过程中，其关键部分就在于以一组不共线向量为基底，通过向量运算利用平面向量的基本定理，就能够将基底向量表示出来，再利用向量相等，列出方程，进而得出相应的值。

四、结语

总之，向量作为高中数学学习的重要内容，在实际的应用范围非常广泛。应用向量研究问题能够实现抽象思维和形象思维的相互结合，并能够有效地开发学生的数学思维能力，进一步提高学生解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]尚廷武.立体几何中“几何法”与“向量法”的解题功能比较[J].数学通讯，2012，10（8）：56

[2]赵小平.把空间向量融入立体几何教学的一种教学设计[J].数学教学，2013，9（45）：23

[3]王建明.数学课程改革中的向量背景与前景分析[J].数学通讯，2012，7（5）：24

[4]黄生顺.平面法向量在立体几何中的解题应用[J].中学数学，2013，7（12）：23

第二篇：向量的应用研究

平面向量是高中新教材的重要内容,它既反映了现实世界的数量关系,又体现了几何图形的位置关系,从而将数和形有机地结合起来.因此以平面向量的相关知识为载体,以数形转化思想方法为主线,在知识网络交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题,已成为近几年高考和各地模拟命题的新热点.试题有效地沟通了知识间的横向联系,有助于知识网络的构建,有力地考查了学生的综合能力和数学素质.利用向量法解题在近几年的高考试题中已多次出现,向量法解题将成为使用试验新教材地区高考命题的一个新的热点,同时向量法解题也是高中几何改革的根本出路.高中数学课程标准中也提出:“应当综合法和向量法并重,以向量法为主.”下面就对用向量法解题作一些探讨.一、利用向量解决不等式的有关问题向量是一个几何量,是一个具有“形”的量,因此,我们可以从图形中的三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边的不等关系得到启发,在不等式的证明过程中运用向量中的不等性质,使量的关系变为几何形来讨论,我们将会感觉到直观而生动

第三篇：高中数学说课向量加法

《向量的加法》说课稿

一、教材分析：

《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、学情分析：

学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、教学目的：

1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

四、教学重、难点

重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。

五、教学方法

本节采用以下教学方法：

1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。

2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。

3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。

4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

六、数学思想的体现：

1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。

2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。

3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。

七、教学过程：

1、回顾旧知：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量、相等向量、共线向量等概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。

2、引入新课：

（1）平行四边形法则的引入。

学生在物理学中虽然接触过位移的合成，但是并没有形成三角形法则的概念；而对平行四边形法则学生已学过，很熟悉。所以我决定由力的合成引入向量加法的平行四边形法则。平行四边形法则的特点是起点相同，但是物理中力的合成是在有相同的作用点的条件下合成的，引入到数学中向量加法的平行四边形法则，所给出的图形也是现成的平行四边形，而学生刚学完相等向量，对相等向量的概念还没有深刻的认识，易产生误解：表示两个已知向量的有向线段的起点必须在一起才能用平行四边形法则，不在一起不能用。这时要通过讲解例1，使学生认识到可以通过平移向量，使表示两个向量的有向线段有共同的起点。这一点对理解及运用法则求两向量的和很重要。

设计意图：本着从学生最熟悉、离学生最近的知识经验为接入点，用学生熟知的方法来解决新的问题——向量的加法，这样新中有旧，学生容易接受，也使学科间的渗透发挥了作用，加深了学生对向量加法的平行四边形法则的“起点相同”这一特点的认识，例1的讲解使学生认识到当表示向量的有向线段的起点不在一起时，须把起点移到一起，至此才能使学生完成对平行四边形法则理解真正到位。（2）三角形法则的引入。三角形法则没有按照教材中利用位移的合成引入，而是从前面所讲的平行四边形法则的图形中直接引入（如图）。

所以这种把两个向量相加的方法称为三角形法则。接下来用幻灯片完整展示三角形法则，同时法则的作法叙述、作图过程对学生也起到了示例的作用。于是前面的例1还可以利用三角形法则来做。

这时，总结出两个不共线向量求和时，平行四边形法则与三角形法则都可以用。

设计意图：由平行四边形法则的图形引入三角形法则，可以很清楚地使学生从向何意义上认识到两个法则之间的密切联系，理解它们的实质，而且衔接自然，能够使学生对比地得出两个法则的特点与实质，并对两个法则的特点有较深刻的印象。

（3）共线向量的加法

方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，“将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。”引导学生分析作法，结果发现还是运用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。但是学生学过有理数加法中的异号两数相加：“异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。”类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。

反思过程，学生自然会想到方向相同的两个向量相加，类似于同号两数相加。这说明两个共线向量相加依然可用三角形法则。对

有如下规定 通过以上几个环节的讨论，可以作个简单的小结：两个不共线向量相加，可采用平行四边形法则或三角形法则，而两个共线向量相加在本课所学方法中只能用三角形法则，说明三角形法则适用于任意两个向量相加。

设计意图：通过对共线向量加法的探讨，拓宽了学生对三角形法则的认识，使得不同位置的向量相加都有了依据，并且采用类比的方法，使学生对共线向量的加法，尤其是方向相反的两个向量的加法更易于理解，可以化解难点。

（4）向量加法的运算律

①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。

接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。

设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。

3、小结

先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。

（1）平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。（2）三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和。（3）运算律

交换律： 结合律：、作业：P91，A组1、2、3。

《向量的加法》评课稿

本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。

本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。但是这次讲课改变了我的看法。从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的“相等向量”的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。原先的设计中，板书设计也有，打在教案的后面。

通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。

其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。

本节缺憾也很多。首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。其次，语言不够精炼，有时比较啰嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。

以上是我对这节课的反思，不到之处，请大家指点。

第四篇：法向量在立体几何解题中的应用

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法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第五篇：在解决突出问题中建强党支部

党支部是党的最基层组织，是党的全部工作和战斗力的基础。在“两学一做”学习教育中，要从强化政治功能、突出服务功能、整顿后进党支部等方面入手加强党支部建设，推动解决党员队伍中存在的突出问题。

强化熔炉作用，重点解决党员理想信念动摇问题。好铁百炼方能成钢，党员同样离不开党支部大熔炉的锤炼锻造。针对少数党员信仰缺失、精神空虚、价值取向物化等问题，在支部生活中深入开展理想信念教育，解决好思想“总开关”问题。要组织党员认真学习党章党规，深入学习总书记系列重要讲话精神，帮助党员站稳政治立场、保持政治定力，坚定共产党人的信仰追求，坚定道路自信、理论自信和制度自信。通过内容丰富、行之有效的教育引导，帮助党员彻底除掉头脑中的“病灶”，补足精神之“钙”，成为党的事业的忠诚拥护者和坚强捍卫者。

强化堡垒作用，重点解决党员党的意识淡化问题。当前，少数党员对应承担的责任义务认知不清，组织生活参加不经常，组织观念和纪律意识弱化。加强支部建设是解决这些问题的一剂有效良方。要推动党支部规范化建设，通过落实“三会一课”、组织生活会、民主评议党员等基本制度，进一步

秀“第一书记”、党员领导干部定期联系、加大投入等措施，抓好后进党支部的整顿和转化，推动基层党组织建设全面进步全面过硬。狠抓纪律建设，引导党员牢固树立政治意识、大局意识、核心意识、看齐意识，自觉按党的纪律规矩办事、按组织程序办事、按规章制度办事。

强化阵地作用，重点解决党员宗旨观念淡薄问题。针对少数党员出现的服务意识薄弱、漠视群众疾苦、忽视群众利益等问题，党支部要强化政治功能，发挥思想教育主阵地作用，组织党员练好服务群众这个基本功。要突出服务功能，找准联系服务群众的着力点，解决群众最关心、最迫切、最现实的问题，落实好党员直接联系服务群众制度，组织党员经常深入基层、了解群众疾苦、倾听群众心声。

强化引领作用，重点解决党员发展劲头不足问题。对那些庸政怕事不敢为、懒政怠政不想为、工作推诿不履责的党员，要及时咬耳扯袖提醒、郑重警示告诫，教育引导党员增强责任意识，立足岗位尽职尽责，攻坚克难主动作为。要围绕贯彻五大发展理念等方面内容，抓好理论和专业化能力培训，进一步提高党员推动和引领振兴发展的能力水平，培养和造就一大批干事创业有热情、破解难题有本领、引领发展有成效的开路者和实干家。