浅谈向量在几何中的应用

第一篇：浅谈向量在几何中的应用

浅谈向量在几何中的应用

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。

第二篇：空间向量在几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

一.平行问题

（一）证明两直线平行

A,Ba;C,Db,a|| b

若知AB(x1,y1),CD(x2,y2),则有x1y2x2y1a||b

方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。

(二)证明线面平行

线 a面,A,Ba,面 的法向 n，若ABn0ABnAB .方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一

向量，证明这一向量与法向量垂直(即证

明数量积为0)，则可得线面平行。

(三)面面平行

不重合的两平面 与 的法向量分别是  m 和 n，mn||

方法思路：求两平面的法向量，转化为证明

两法向量平行,则两平面平行。

二.垂直问题

(一)证明两直线垂直

不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a 和 b，则有ab0ab

方法思路：找两直线的方向向量(分别在两直线上各取两点得两向量)，证明两向量的数量积为0,则可证两直线垂直。

(二)证明线面垂直  直线 l的方向向量为 a，e1,e2是平面 的一组基底（不共线的向量）, 则有 ae10且ae20a

方法思路：证明直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)与

平面内两不共线向量的数量积都为0（即都垂直），则可证线面垂直。

(三)证明面面垂直 不重合的平面 和 的法向量分别为m 和 n，则有 mn0

方法思路：找两平面的法向量，只需证明两向量

数量积为为0,则可证明两平面垂直。

三.处理角的问题

(一)求异面所成的角

a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,a,b所成的角为,则有cos|cosAB,CD| ABCD|AB||CD|

方法思路：找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式。

(但要理解异面直线所成的角与向量的夹角相等或互补)。

(二)求线面角

设平面 的斜线 l 与面所成的角为，若A,Bl,m是面的法向量，mAB 则有sin.mAB

方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为

向量的夹角问题,再套公式。(注意线面角与两

向量所在直线夹角互余）

(三)求二面角

方法1.设二面角l 的大小为 ，若面， 的法向量分别为 m 与 n.mn(1)若二面角为锐二面角，即(0,)则有cos.2mn

(2)若二面角为钝二面角，即(,)2 mn则有cos.mn



四.处理距离问题

(一)点到面的距离d 任取一点Q 得 PQ, m是平面 的法向量，则有：点P到 PQm面 的距离d=PQcos(向量PQ在法向量m 的投影的长度)|m|

(二)求两异面直线的距离d

知a,b是两异面直线，A,Ba,C,Db，找一向量与两异面直线都垂直的向量m，ACm则两异面直线的距离 dACcos＝|m|

方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m,然后分别在两异面直线上各任取一点A,C,则其距 ACm离 d 就是AB在向量m上的投影的长度,距离d|m|

Ps：向量 m 与异面直线a、b 都垂直，可用方程组求出 m 的坐标.五.如何建立适当的坐标系

1.有公共顶点的不共面的三线两两互相垂直

例如正方体、长方体、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且过直角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥等等。

2.有一侧棱垂直底面

OC底面OAB

（）1OAB是等边三角形

（2）OAB是以OB为斜边的直角三角形

(1)(2)

(3)PA底面ABCD，且四边形ABCD是菱形

(4)PA底面ABCD，且四边形ABCD是ABC＝60的菱形

(3)

3.有一侧面垂直于底面

(4)

(1)在三棱锥S－ABC中,ABC是边长为4的正三角形，平面SAC底面ABC,且SASC(2)四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ADC60的菱形

.(1)(2)

两平面垂直的性质定理:若两面垂直,则在其中一面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化为有一线垂直于底面的问题.4.直棱柱的底面是菱形正四棱锥正三棱锥

第三篇：向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用

第一章

引言

1.1

研究背景

向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．

1.2

本课题的研究内容

本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：

1、向量在建立平面方程中的应用.2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用.5、向量在平面其它方面的应用.第二章

向量法在有关平面问题中的应用

2.1

向量的基础知识

1.向量分解定理

定理1

如果向量,那么向量与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即,并且系数被,唯一确定.定理2

如果向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的线性组合,即,并且系数，被，唯一确定.这时,叫做平面上向量的基底.2.向量平行、垂直的条件及夹角公式

设空间中两个非零向量为和

则(1)

(2)

∥

(3)即

3.向量乘法运算的有关内容:

设则

(1)数量积：1)

2)

3)

4)

即

(2)向量积：1)

2)若不平行,则

图1

3)若∥即

(3)混合积：1)

2)若不共面,则

2.2向量在建立平面方程中的应用

2.2.1

平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量.法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量.已知平面上一点和该平面的法向量.设平面上的任一点

则有

=

图2

平面的点法式方程为

由点法式得到平面的一般是方程其中例1:

一平面过点和且垂直于平面,求此平面的方程.解:

平面的法向量

设所求平面的法向量

∵在所求平面上

∴

从而有

∵,图3

∴即

(1)

又∵所求平面垂直于平面,从而有

即

即

(2)

由(1)(2)解得：∴

∴所求平面的方程为即

另解：∵且

∴该平面的法向量为

图4

∴所求平面的方程为

即

从以上两例可以看出,在用向量建立平面方程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且需注意两平面的位置特征.2.2.2平面的参数式方程

图5

在空间,取仿射坐标系,并设点的向径,平面π上的任意一点的向径为(图4),显然点在平面π上的充要条件为向量与共面,因为不共线,所以这个共面的条件可以写成,又因为,所以有

其中为参数.即

则此方程叫做平面π的向量式参数方程,如果设点的坐标分别为那么

;

令,那么由平面π的向量式参数方程得,则此方程组叫做平面π的坐标式参数方程.2.3讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用

2.3.1平面与平面的位置关系

空间两个平面的位相关位置有三种情形,即相交、平行和重合,而且当且仅当两平面有一部分公共点时它们相交,当且仅当两平面无公共点时它们相互平行,当且仅当一个平面上的所有点就是另一个平面的点时,这两平面重合.因此如果设两平面方程为,（1）,（2）

那么两平面与是相交还是平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或是方程(1)与（2）仅相差一个不为零的数因子,因此我们就得到了下面的定理.定理2.3.1.1:

平面（1）与（2）相交的充要条件是,平行的充要条件是,重合的充要条件是

定理2.3.1.2:两平面（1）与（2）相互垂直的充要条件是

;

证：设平面的法向量为,平面的法向量为

而与的位置关系直接影响与的位置关系.下面分几种情况来讨论.(如图2.3.1)

1.∥∥

特例：与重合（1）,（2）两方程同解

∥且

显然,∥,且与不重合2..将上面结果归纳起来可以得到2.3.1.1和2.3.1.2

2.3.2平面与直线的位置关系

空间直与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上的三种情况.下面给出直线与平面位置成立的条件：

设直线平面的方程分别为,（1）,（2）

则由定理2.3.2.1

直线（1）与平面（2）的相互位置关系有下面的充要条件:

1.相交：；

2.平行：

;；

3.直线在平面上：

;;

由于直线的方向向量为,而在直线坐标系下,平面的法向量为,因此在直角坐标系下,直线与平面的相互位置关系,从几何上看,直线与平面的相交条件

就是不垂直于；

直线与平面平行的条件

;

就是,且直线上的点不在平面上；

直线在平面上的条件

;

就是,且直线上的点在平面上.2.4向量在推导点到平面的距离公式中的应用

空间解析几何在空间点、直线与平面间相关位置的讨论中有一个重要问题是求这些图形间的距离,其中点到平面的距离尤为重要．本节将利用向量探讨点到平面的距离公式的推导．

文献[1,2]利用点与平面间离差的几何意义给出了点与平面：

（1）

之间的距离公式：

（2）

平面的点法式向量方程为,（3）

平面的向量式参数方程

（4）

其中是平面的法向量,、为参数，是平面的方位向量,是平面上定点的径矢,（5）

设

（6）

（7）,（8）

则平面的点法式向量方程（3）和平面的向量式参数方程（4）都可以转化为平面的一般式方程（1）,所以以下推导中,只要得到由向量表示的距离公式,那么将（6—8）代入,就可得距离公式（2）.证：1.与之间的距离是与上定点构成向量在平面的法向量上的射影的绝对值.设平面的点法式方程如（3）式,则

将（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距离公式（2）

已知与之间的距离是以平面的方位向量,和为棱的平行六面体中,所在平面上的高

证：1.设平面的方程如（4）式,将,的始点移到点,则，不面.与之间的距离正好是以向量,和为棱的平行六面体中,所在面上的高如图6.平行六面体的体积,底面的面积

图6

所以,将（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距离公式（2）

评析：点到直线距离公式的推导有很多方法,本节利用向量法推导出了点到直线的距离公式,这种思路能更好的将向量与几何问题结合起来,展现了向量在解决几何问题中的重要作用.2.5

向量在推导两平面的夹角公式中的应用

现在让我们在直角坐标系下来研究两平面的交角.设两平面与间的二面角用来表示,而两平面的法向量与的夹角记为,那么显然有（图7）

或.因此我们得到

图7

例2:

如图8,在底面是直角梯形的四棱锥中,//，，,.求侧面与面所成的二面角的大小.解：以为原点如图8建立空间直角坐标系,A

z

y

x

D

C

B

S

图8

则，，∴,显然平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则

∴

则

评析：因为所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法求二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势.2.6向量在平面其它方面的应用

1．求点关于平面的对称点的坐标.例3.求点关于平面π:的对称点的坐标.解：设点关于平面对称点的坐标是平面π的法向量为.则有∥且点到平面的距离与点到平面的距离相等,即.得

解得,则点的对称点.2.求平面与坐标平面围成的四面体体积.例4.求平面与三个坐标平面所围成的四面体体积.解：如图9,则平面与坐标系的交点与原点构成的向量为，图9

则四面体体积为即四面体体积

评析：向量除了本文所罗列出来的相关问题之外,还有很多的解析几何问题可以利用向量来解决,所以向量在解决平面的相关问题中有着不可忽视的作用,值得我们认真学习和研究.2.7本章小结

总之,向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题.另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多.参考文献

[1]吕林根,许子道.解析几何[M]．北京：高等教育出版社,1992．

[2]丘维声.解析几何[M]．北京大学出版社,1988．

[3]郑荣等.向量在几何中的应用举例[J].成都教育学院学报,2003,17

65~66.[4]李健群.谈向量方法在有关直线问题中的应用[J].数学通,2004,6~17.致谢

走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句.从课题选择到具体的写作过程,无不凝聚着老师的心血和汗水.老师要指导很多同学的论文,加上本来就有的教学任务和科研项目,工作量之大可想而知,她还在百忙之中抽出大量的时间来指导我们.她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,她的渊博的专业知识,精益求精的工作作风,严以律己、宽以待人的崇高风范,将一直是我工作、学习中的榜样.在我的毕业论文写作期间,老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,没有这样的帮助和关怀,我不会这么顺利的完成毕业论文.在此向李明老师表示深深的感谢和崇高的敬意.同时,论文的顺利完成,离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在整个的论文写作中,各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见,在他们的帮助下,论文得以不断的完善,最终帮助我完整的写完了整个论文.最后,也是最重要的,我要感谢我的父母,因为没有他们,就没有现在站在这里的我,是他们给以我生命,给以我大学的机会,是他们造就了今天的我.对于你们,我充满无限的感激.

第四篇：向量在数学中的应用

向量在数学中的应用

一、向量知识

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向

当λ<0时，λa与a反方向；

向量的数乘

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c(a≠0)，推不出 b=c。

3．|a·b|≠|a|·|b|

4．由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4．(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量积

由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

二重向量叉乘化简公式及证明

三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 向量共线的条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。

零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

零向量0垂直于任何向量。

平面向量的分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底．

二、应用(一)向量在函数中的应用 例1：求函数的值域。

解：函数的解析式可化为：，，说明：碰到此类问题，我们必须先模拟、联想、构造两个向量，然后利用向量的平等关系得出函数的值域或其最值。

(二)、向量在不等式问题中的应用

(三)、向量在三角问题中的应用

(四)、向量在平面几何问题中的应用

例4：用向量证明：三角形中位线平行于底边，且长度是底边长度的一半。

说明：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数使得，这是证明平行、共点、共线、共面的有力工具。

(五)、向量在解析几何问题中的应用

说明：在教材中增加向量内容之前，本题可用两种方法求解：一是利用余弦定理结合椭圆焦半径公式求解；二是利用直线的到角公式求解，但必须注意斜率是否存在的问题，应验证斜率不存在的情况。

(六)、向量在立体几何问题中的应用

第五篇：向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟

2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab|a||b|cos

（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为，则cosab |a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在惟一的R，使ba。

（4）、两向量平行的充要条件：向量a(x1,y1),b(x2,y2)平行x1y2x2y10

（5）、两向量垂直的充要条件：向量abab0x1x2y1y20

（6）、向量不等式：|a||b||ab|，|a||b||ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y

2二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知、是任意角，求证：cos()coscossinsin。

证明：在单位圆上，以x轴为始边作角，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角，终边交单位圆于B，有OA(cos,sin),OB(cos,sin)，所以有：

OAOBcoscossinsin

又OAOB|OA||OB|cosAOBcos()

即cos()coscossinsin

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos()或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

2、利用向量证明不等式

材料二：m,n,a,b,c,d



证明：设h

k



|h|k|

由数量积的坐标运算可得：hk



又因为|hk||h||k|，成立。点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：abx1x2y1y2，|a||b||ab|，构造向量解之。

3、利用向量求值

3，求锐角,。

23解析：由条件得(1cos)cossinsincos 2

设m(1cos,sin)，n(cos,sin)，3则mn



cos，|m||n|1，2

312由mn|

m||n|，得cos(cos)0，22

1则cos，即，同理（因为、为锐角）233材料三：已知coscoscos()

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)，C(cos,sin)，(（１）、若|AC||BC|，求角的值； 32,2)。

2sin2sin2（２）、若ACBC1，求的值。1tan解析：（１）AC(cos3,sin)，BC(cos,sin3)

|AC|

35)，由|AC||BC|得sincos，又(, 22

4（２）、由ACBC1得(cos3)cossin(sin3)

12sincos……………………………………（１）

32sin2sin22sin22sincos2sincos 又sin1tan1cos

4由（１）式两边平方得1

2sincos

 9

552sin2

sin2 2sincos，991

tan |BC|

4、利用向量求函数值域 5，求xy的最小值。

解析：构造向量

m，n(1,1)由mn

|m

||n|



xy 227xy有最小值

2变式：设x的最小值。

解析：





故可设a

(x1,1)，b(5x,3)|ab|

|a||b|

x11，即x2时等号成立。当5x

3所以当x2时, 取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M(2,0)，作直线l交双曲线x2y21于A、B不同两点，已知OPOAOB。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使|OP||AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）、设直线l的方程为yk(x2)，代入x2y21得(1k2)x24k2x4k210，4k24k21当k1时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2，x1x22 21kk

1k4k24ky1y2k(x12)k(x22)4k 221k1k

设P(x,y)，由OPOAOB，则

4k24k(x,y)(x1x2,y1y2)(,)1k21k

24k2

xx1k，解之得k(k0)yy4k

1k2

4kx22再将k代入y得(x2)y4……………………（1）21

ky

当k0时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知P(4,0)满足（1）式，故所求轨迹方程为(x

2)2y24，其轨迹为双曲线；

当k

1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP||AB|，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是OAOB0，即x1x2y1y20。

当k不存在时，A、B坐标分别为(，(2,，不满足上式。

(k21)(4k21)2k24k

224k0 又x1x2y1y2x1x2k(x12)(x2)22k1k

1k210，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。化简得：2k12点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x2y2

变式：已知双曲线Ｃ：221(a0,b0)，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x轴ab

正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为Ｐ，如图所示。

（１）求证：PAOPPAFP；

（２）若l与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e的范围。

ay(xc)aa2abb解析：（１）直线l的方程为：y(xc)，由解得P(,)cccybxa|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，a

2A(,0)，故PAx轴，如图所示。c

从而PAOPPAFPPAOF0

PAOPPAFP

aa4y(xc)22(2)、由得bx2(xc)2a2b2，bbb2x2a2y2a2b2

a

422a4a4

2即(b2)x2cx2(xc)

0 bbb

a4c

2(2a2b2)x1x20，b4a4，即b2a2，c2a2

a2e22e 4ab22b2

点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）给出直线的方向向量u1,k或um,n，要会求出直线的斜率；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知过AB的中点;（3）给出0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,使AC；③若存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.OAOB，等于已知P是的定比分点，为定比，即APPB 1

（7）给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出（6）给出MAMBm0,等于已知AMB

是锐角。是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB

（8）

给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;

（10）在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在ABC中，给出，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在ABC中，给出的重心是三角形三条中线的交点）； 222，等于已知O是ABC的重心（三角形

OCOA，等于已知O是ABC的垂（13）在ABC中，给出OAOBOBOC

心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC中，给出(ABAC)(R)等于已知AP通过|AB||AC|

ABC的内心；

（15）在ABC中，给出abc等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在ABC中，给出AD1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线。2