空间向量在立体几何中的应用

第一篇：空间向量在立体几何中的应用

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

第二篇：28.空间向量在立体几何中的应用

高三数学一轮复习材料命题：王晓于杰审题：刘臻祥2007-8-2

2§5.3空间向量在立体几何中的应用

NO.28

【基础知识梳理】

1.直线的方向向量与直线的向量方程

⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置

① 给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP=_________（Ⅰ），这时点P的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l的____________，向量a称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t，满足等式，如果在l上取，则（Ⅱ）式可化为 O=_________（Ⅱ）

OPOAtABOAt(OBOA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M是线段AB的中点，则O=_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行

① 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1和l2重合__________.② 已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或 l在α内存在两个实数x，y，使v=__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线l1和l2成的角为θ（锐角），方向向量分别为v1和v2，则有l1⊥l2__________，cosθ=__________.2.平面的法向量与平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的________或说向量n与平面α________.⑵设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，适合条件AMn0----①的点M的集合构成的图形是________.如果任取两点M1、M2（M1、M2和A三点不共线），且AM10，AM20，则n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.满足条件①的所有

点M都在平面AM1M2内.①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论：如果A、B、C三点_____________，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式=_________.⑷ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合_____，α⊥β______________

⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和

____________垂直.【基础知识检测】

1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），则l1与l2的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

2.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，-1m，2），则m=______.24.已知平面α和β的法向量分别为u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，则x+y=______.5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线AC1与直线BC所成的角为_______.【典型例题探究】

题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a的正四面体ABCD中，M、N分别为边AB、CD的中点，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.D

变式训练：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1和A1A的中点,（1）求异面直线BA1和CB1所成的角；（2）求证：A1B⊥C1M.题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N

分别是对角线A1B与面对角线A1C1的中点.求证：MN∥侧面AD1.变式训练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

题型3（空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引射线OA，OB，OC，OD，在其上分别取E，F，G，H，并且使OEOFOGOHk（k OAOBOCOD

为常数）.求证：E，F，G，H四点共面.变式训练：求证：四点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限时过关检测】班级学号姓名分数

选择、填空题每小题10分

1.对空间任意一点O，若311，则A、B、C、P四点（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

2.设P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC,PB⊥AC,则 P在该平面内的射影是△ABC的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

3.设l1的方向向量为=（1，2，-2），l2的方向向量为=（-2，3，m），若l1⊥l2，则m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量是_________.5.（20分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中点.（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，⑴ 求直线BE与A1C所成的角；⑵ 在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由.【体验高考】(每小题10分)

1．（2007全国Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°

第三篇：空间向量在立体几何中的应用(一) 课时教案

空间向量在立体几何中的应用

（一）——求空间两条直线、直线与平面所成的角

知识与技能：引导学生探索并掌握利用空间向量求线线角、线面角的基本方法。、过程与方法：通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方便，激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。情感态度价值观：课堂中进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心 教学重点、难点

重点：利用空间向量解决线线角、线面角问题的基本思路。难点：在解题中的灵活应用。

教学方法：课前预习、独立思考、课堂讨论、当堂训练、课后反思相结合。教学过程：

一、创设情境：

引例：（期中考试卷19题）在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。（1）证明直线AC直线BD；

（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果用反三角表示）。二．探索与发现

1、空间两条直线所成的角

设空间直线a与b所成的角为(02)，它们的一个方向向量分别为d1l1,m1,n1和d2l2,m21,n2，d1与d2的夹角为(0).，根据空间两条直线所成角的定义，可知与的关系是

(0)2

()2于是得coscos

当ab时，0,0或，当ab时，0,

2、空间直线与平面所成的角

2。当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为(02)，d是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，d与n的夹角为，那么与有如下关系：

(0)22 ()22当l或l时0,于是有sincos。三．学习应用

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。例2：讨论完成引例

例3：四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos四．创新发展

例4：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？ 五．课堂小结：

利用空间向量处理立体几何的问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算，有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受，降低了立体几何学习的难度，有利于丰富我们的思维结构，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。

六、课后作业

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。

D1A1B1C12;，当l时，2,0.1010，求直线DE与平面BCD所成角的大小。

（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；

D EAFBC（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。

2、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。

（1）证明：直线AC直线BD；（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果

反三角表示）。

3、四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos

CBEAD1010，求DE与平面BCD所成角的大小。

4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？

A1D1B1C1DABC

第四篇：向量方法在立体几何教学中的应用

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向量方法在立体几何教学中的应用

作者：王龙生

摘 要： 在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，能避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.关键词： 向量 立体几何教学 数形结合在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明

二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明

由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂，加上学生的空间感比较薄弱，因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直，其优越性非常明显，具体体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直，都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”

华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.因此，充分掌握、运用好向量知识，可以提高学生的数形结合能力，培养学生发现问题的能力，帮助学生理清数形结合呈现的内在关系，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题，能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证，有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献：

[1]单招生—相约在高校，数学：基础知识梳理.[2]单招零距离—数学：总复习方案.[3]吕林根，张紫霞，孙存金.立体几何学习指导书.

第五篇：向量在立体几何中的应用导学案

课题：§2.4向量在立体几何中的应用

（一）编写：审核：时间—、教学目标 ：、复习近平面几何图形的性质。

2、理解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

二、问题导学：

1、平面几何图形的性质

2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将证明线段相

等，转化为证明向量的相等，求线段的长，转化为求向量的； 证明线段、直线平行，转化为证明向量；

证明线段、直线垂直，转化为证明向量；

几何中与角相关的问题，转化为向量的问题；

对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立，通过代数（坐标）运算解决问题。典型例题

例

1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2。

求证：AD⊥BC。

例

2、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（1）求,和ACB的大小，并判断△ABC的形状；

（2）若M为BC边的中点，求||。

三、作业

ABCD中，错误的式子是（）

A、B、

C、ABBCACD、ADABAC2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（）

A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形 

3、△ABC是等边三角形，设a,b,当|atb|取最小值时，t=（）

13A、B、1C、2D、224、已知四边形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），则

四边形ABCD为（）

A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形

5、在平面上有A、B、C三点，设mABBC,nABBC,若m与n的长度恰好相等，则有（）

A、A、B、C三点必在同一条直线上B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C、△ABC必为直角三角形且∠B=90º D、△ABC必为等腰直角三角形





6、设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2)若表示向量4a,4b2c,2(ac),d

的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（）

A、（2，6）

B、（-2，6）

C、（2，-6）

D、（-2，-6）

7、已知点A(,1),B(0,0),C(3,0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有,其等于（）A、2B、C、-

3D、

38、如果直线xyt与圆x2y24相交于A、B两点，O为原点，如果与的夹角为

，则t 的值为。

39、如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。

§2.4向量在解析几何中的应用

（二）执笔人：郑才红葛红时间—、自主学习例4—6填空：

（1）设直线l 的倾斜角为，斜率为k, 向量(a1,a2)平行于l，则称为l的，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量共线，因此（1，k）也是l 的方向向量。

（2）已知直线l:AxByC0，则向量(A,B)一定和l，向量(A,B)

称为l 的。

（3）已知直线l1:A1xB1yC10，l1:A1xB2yC20，则n1(A1B1)与

l1垂直，n2(A2,B2)与l2 垂直，于是l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其

补

角）

设

l

1与

l

2的夹

角

是

，则

有



nn2

|cos|cosn1,n2||1|n1||n2|

二、典型例题：

已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线AQ上，满足

PAAM0,，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程。

三、作业：

1、已知点A，B的坐标为A（4，6），B（-3，）,与直线AB平行的向量的坐标可以

2是（）

①（14,3)

3②(7,)③(

921

4,3)④（-7，9）3

A、①②B、①③C、①②③D、①②③④

2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（2，2），若点C满

足t(),其中tR，则点C的轨迹方程为（）

A、(x2)2(y2)22C、2xy10

B、xy10 D、2xy203、直线3x2y60与向量n(2,3)的位置关系为（）A、平行

B、相交

C、垂直

D、重合

4、若对n个向量a1,a2,......,an,存在n个不全为0的实数k1, k2,„„，kn，使得

，依此k1a1k2a2.....knan0成立，则称向量a1,a2,...,an为“线性相关”

规定，能说明a1(1,0)，a2(1,1),a3(2,2)“线性相关”的实数k1, k2, k3依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。

5、过点A（3，2）且与直线l:4x3y90平行的直线方程为，过点A且与l垂直的直线方程为。

2

6、已知向量a(x,x)与向量b(2x,3)的夹角为钝角，则实数x的取值范围

是



7、已知向量a,b的夹角为60º，|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab)，则m的值为

8、直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P(x, y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是。

§2.4向量在物理中的应用

（三）执笔人：郑才红葛红时间

—、自主学习：

1、力向量包括大小、方向和作用点，如果大小和方向相同的两个力，作用点不同，它们是

2、同一平面上，作用于同一点的两个力f1,f2或三个力f1,f2,f3处于平衡状态，可分别用等式；来表示。

3、一质点在运动中每一时刻都有一个向量。

二、典型例题：

例

1、如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河

水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

例

2、某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为

2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

三、作业



1、当两人提起重量为|G|的书包时，夹角为，用力为||，则三者的关系式为（）



|G|

A、|F|

2cos|G|C、F

2cos

|G|B、|F|

2sin

|G|D、|F|

2cos2、已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)且A（1，1），则合力F1F2F3的终点坐标为（）A、（9，1）

B、（1，9）

C、（9，0）

D、（0，9）

3、两个大小相等的共点力F1,F2，当它们夹角为90º时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120º时，合力大小为（）A、40N

B、2N

C、2N

D、N4、一条河宽为400米，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为（）A、1.5分钟B、1.8分钟C、2.2分钟D、3分钟

5、河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）A、10m/s

B、226m/s

C、46m/s

D、12m/s6、一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知垂直到达对岸，则（）A、|v1||v2|C、|v1||v2|



B、|v1||v2|

D、|v1||v2|