空间向量的应用[定稿]

第一篇：空间向量的应用[定稿]

1． 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。2． 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。

3． 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。

1.a，b是两个非零的向量，，是两个平面，下列命题正确的是（）

A.a∥b的必要条件是a,b是共面向量 B.a,b是共面向量，则a∥b C.a∥，b∥，则∥

D.a∥，b∥，则a,b不是共面向量）

2.关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：其中真命题的序号是（①m//,n//且//，则m//n；

②m,n且，则mn；

③m,n//且//，则mn； ④m//,n且，则m//n.3.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，则△BCD是（）三角形

4.空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：则所有的正确命题为。①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE异面 5． 已知四边形ABCD满足，ABBC0，BCCD0，CDDA0，DAAB0，则该四边形

ABCD为

A．平行四边形

B．空间四边形

C．平面四边形

（D．梯形）

6． 已知非零向量a,b及平面，若向量a是平面的法向量，则ab0是向量b所在直线平行于平面或在平面内的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7． 已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：

①ABCDACBDADBC；②|ABACAD|2=|AB|2|AC|2|AD|2． 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为 A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假

（D．①假、②真）

BAC8． 在直三棱柱ABCA1B1C1中，．有下列条件：①ABACBC；②ABC1AC1

BAC；③A．其

中能成为BC1AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）_________．

9．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作

EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小． A

第9题

B

第二篇：空间向量共面充要条件的应用（定稿）

空间向量共面充要条件的应用

共面向量定理涉及三个向量→p、→a、→b共面问题，它们之间的充要条件关系为：如果两个向量→a、→b不共线，那么向量→p与向量→a、→b共面的充要条件是：存在有序实数组(x,y)，→→→使得p＝xa＋yb.共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用，如在点线共面、线面平行等问题中，都有很好的体现.由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量，或者理解为平行于同一平面的向量.下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析，体会应用的方法与技巧.一、判断点与平面的关系

例1 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，若OM＝2OA－OB－OC，判断点M是否在平面ABC内.分析：点M与A、B、C不共面，即点M不在平面ABC内，即不存在x，y使→AM＝x→AB＋y→AC，可用反证法证明判断.→→→→

→→→解：假设M在平面ABC内，则存在实数x,y，使AM＝xAB＋yAC，于是对空间任意一点O，O在平面ABC外，→OM＝(1－x－y)→OA＋x→OB＋y→OC， 1－x－y＝

2比较原式可得 x＝－1，此方程组无解，与假设不成立， y＝－

1→→→∴不存在实数x,y，使AM＝xAB＋yAC，∴M与A、B、C不共面.点评：本题采用反证法来证明点M不在平面ABC内，因为反证法就是从正面进行解答比较困难，从对立面进行证明的一种思想方法.二、用于证明四点共面

例2 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN﹕NC＝2﹕1，求证：A1、B、N、M四点共面.→→分析：利用空间向量共面的充要条件，通过证明向量→A1N、A1B、A1M共面，即可证明

→→→存在唯一实数λ、μ，使A1N＝λA1B＋μA1M成立.→→→→→→→→→→ 证明：如图，→AA1＝a，AB＝b，AD＝c，则A1B＝AB－AA1＝b－a，→1→→1→∵M为DD1的中点，→A1M＝AD－AA1＝c－a，2

222→→2→→∵AN﹕NC＝2﹕1，∴→AN＝＝(AB＋AD)＝b＋c)，33

32→1→→2→→→2→→∴→A1N＝AN－AA1＝(b＋c)－a＝b－a)＋(c－a)3332

22→＝→A1B＋A1M，33

∴A1、B、N、M四点共面.点评：本题根据空间向量基本定理，充分利用三角法则与平行四边形法则，通过不同的→→→→→→→→途径分别用向量EF﹑EH表示MQ或用向量EG表示MQ，从而建立向量EG与向量EF﹑EH的线性

关系，进而使问题得证.这是不用向量坐标形式证明几何问题的常用方法.三、证明三线平行同一平面

例3 如图所示，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面

.→→→→分析：证明AD、EF、BC平行于同一平面，即证明向量EF、AD、BC共面，进而证明EF、→AD、→BC之间存在线段关系.证明：→EF＝→EA＋→AD＋→DF，且→EF＝→EB＋→BC＋→CF，又→EA＝－→EB，→DF＝－→CF，→→→→所以EF＋EF＝AD＋BC

111即→EF＋→EF＝(→AD＋→BC)＝→AD＋，22

2可知，→EF、→AD、→BC共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面.→点评：本题在证明过程中，通过利用两种不同的途径得到向量EF的两种不同的表达式，然后两式相加就可以得到所需要证明的表达式，当然其过程要用到三角形法则或平行四边形法则，这是利用加减法处理向量线性线性关系常用的方法.四、证明线面平行

例4 正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.分析：由于DC与DD1在同一平面上，因此可以先考虑利用空间向量共面的充要条件证→→→明向量NM与DC、DD1共面，然后只须说明点M、N不在CC1D1D内就可证明MN∥平面CC1D1D.证明：设CM＝DN＝λDB＝λCB1，则

→→→→→→→→DN＝λDB＝λ(DA＋DC)，CM＝λCB1＝λ(CB＋CC1)，→→→→→→→→→∴NM＝ND＋DC＋CM＝－λ(DA＋DC)＋DC＋λ(CB＋CC1)

→→→→＝(1－λ)→DC＋λ(→DA＋→CB＋→CC1)＝(1－λ)DC＋λ(－DA＋DA＋CC1)

＝(1－λ)→DC＋λ→DD

1∴→NM与→DC、→DD1共面，又M、N不在面DCC1D1内，∴MN∥平面CC1D1D.点评：利用空间证明立体几何问题，减少了利用传统法证明的繁琐的思维量，将考查难度要求较高的空间想象力与抽象的逻辑推理能力转化为考查难度要求稍微较低的运算能力.

第三篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

第四篇：向量空间证明

向量空间证明

解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中

2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;

3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;

4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可

只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法

解：

因为x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第五篇：空间向量复习

高中数学选修2—1空间向量 期末复习

（基本知识点与典型题举例）

为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）。

2、空间直角坐标系中的坐标运算：

一、空间向量的线性运算：

1、空间向量的概念：

空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．

2、空间向量的加法、减法和数乘运算：

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算． 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．

3、加法和数乘运算满足运算律：

①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即(a(a+b)ca(b+c)；

③分配律，即()a=a+a及(a+b)ab（其中，均为实数）．

4、空间向量的基本定理：

（1）共线向量定理：对空间向量a，b(b0)，a∥b的充要条件是存在实数，使a=b．（2）共面向量定理：如果空间向量a，b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb。

推论：①空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；

②空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y或对空间任一定点，有xyC；

③若四点，，，C共面，则xyzC

 xyz1。

（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{a，b，c}惟一线性表示（线性组合）。

5、两个向量的数量积：

（1）两个向量的数量积是a

b=abcosa，b，数量积有如下性质：①ae=acosa，e（e为单位向量）；②a⊥bab=0；③aa=a

2；④ab≤ab。

（2）数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即(a)

b=(ab)；③分配律，即(a+b)c=ac+bc．

二、空间向量的直角坐标运算：

1、空间直角坐标系：

若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{i，jk}表示；在空间

选定一点O和一个单位正交基底{i，jk}，可建立一个空间直角坐标系Oxyz，作空间直角 坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系

（1）定义：给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使a=a1i+a2j+a3k，则(a1，a2，a3)叫作向量a在空间的坐标，记作a=(a1，a2，a对空间任一点A，存在惟一的3)。

OA

xi+yj+zk，点Ａ的坐标，记作A(x，y，z)，x，y，z 分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标。

（2）若A(x

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB(x2x1，y2y1，z2z1)；

（3）空间两点的距离公式：

d



3、空间向量的直角坐标运算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则：a+b(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)；

a(a1，a2，a3)，ab=(a1b1，a2b

2，a3b3)；

a∥ba1b1，a

2bcosab

ab2，a3a,bb3|a||b|1212a2b2a3b32220；

空间两个向量的夹角公式：

a1a2a3b12b2b

3。

4、直线的方向向量与向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OA

a，则点A在空间的位置被a

所

惟一确定，a称为位置向量。

（2）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量

AP

ta，则此方程为直线l上点P对应的向量方程，向量a称为直线l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面

（记作a⊥），向量a叫做平面的法向量。法向量有两个相反的方向。

三、空间向量在立体几何中的应用：

1、空间向量在位置关系证明中的具体应用：

1）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决：①设a、b分别为直线a，b的一个方向向量，那么a⊥ba⊥bab=0；②设a、b分别为平面，的一个法向量，那么⊥a⊥bab=0；③设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么l⊥a∥b。

2）空间直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究：①设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a、b，那么a∥ba∥b；②直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来

证明线面平行问题；

③平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。

2、空间向量在立体几何的计算问题中的应用：

1）空间角的计算：

①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；

②线面角：直线AB与平面所成角为，其中n是平面的法向量；

③面面角：二面角的大小为，其中m，n是两个半平面的法向量。2）距离的计算：

①点面距：设n是平面的法向量，A，则B到的距离为；

②线线距：设n是两条异面直线l1，l2的公垂线的向量，若A，B分别是在l1，l2上的任意一点，则l1，l2的距离为；

③线面距、面面距，与前面求法相同。

四、例题分析：

例

1、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小。

例

2、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB4,BC2,CC13,BE1，（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离。

例

3、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PAADD

1，AB1，M是PB的中点。

（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上

一点，PFEC.已知PD

2,CD2,AE

2, 求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角EPCD的大小。

例

2、如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π

4．19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC，E、F分别 是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AD=a，则

D(0•,•0•,•0)•,•A(a•,•0•,•0)，B(a•,a•,•0)•,C•

(0•,•a•,•0)•,E•

(a•,a

•,•0)•,F•(a2

2•,a2•,a2)•,P•(0•,•0•,a)

（1）a

a2•,•0•,2

•,•(0•,•a•,•0)0•,•

∴EF

DC•.（2）设G(x•,•0•,•z)，则G∈平面PAD.FG

aaa

x2•,•2•,•z2，ax2,••a2•,•za2(a•,•0•,•0)aaa

x20，则x2； 

a

x2•,•a2•,•za2(0•,•a•,•a)a2a2a(z2)0，则z=0.∴G是坐标为（a，0，0），即G为AD的中点.（3）（只理科做）设平面DEF的法向量为n(x•,y•,z)•.由n0•,(x,•y,•z)a,•a•,a

0•,得DE0•222n.(x•,y,•z)(a,•a,••0)0•.a

(xyz)即0•,2取x=1，则y=-2，z=1, axa2

y0•.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD•,•n〉a3



2a6



•, ∴DB与平面DEF所成角大小为

2arccos3

（即arcsin3

6）.19．如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π4

． 解：设AEx，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线

分别为

x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴CE(1，x2，0)D1)，DD1C(0，2，1(0，0，1)．

设平面D1EC的法向量为n(a，b，c)，·D1C0，2bc0，n

由 

ab(x2)0，·CE0n



又CC1(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为，

CC1·n则cos． 1

CC1n

令b1，∴c2，a2x．

∴n(2x，1，2)．

n·DD1π依题意cos．



4nDD1．

∴

x2x2∴AE2．

 ∴C到平面AEC1F的距离dCC1cos

20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1．



（1）求BF；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)． 

由AFEC1，得(2，0，z)(2，0，2)，∴z2．

∴F(0，0，2)BF(2，4，2)．



∴BF

·AE0，n1

（2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1(x，y，1)，由

·AF0，n1，x1

4y10，得∴1

2x20．y．4