3.1.2空间向量基本定理学案范文

第一篇：3.1.2空间向量基本定理学案范文

3．1．2空间向量的基本定理

一．自学达标： 1．共线向量定理：

2．共面向量定理：

3．空间向量分解定理:

,b,

4．ac可作空间的基底的充要条件是：

5．已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA

1B1C1D1,AB1c，试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB

1二．例题精选：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，设

ABa,ACb,AA

1c，M,N分别为AC1 ,BC中点，证明：（1）MN，a,

c共面

（2〕证明：MN

A1B

例2：空间四边形中，OAa,OBb,OC

c，M,N分别

为OA,BC中点，G在MN上，NG2GM，用基底

{a,b,c}表示MN，OG

三．达标练习：

1．下列命题正确的是（）



A．若a与b共线，b与c共线，则a与ca共线



B．向量、b、c共面即它们所在的直线共面

Ｃ．零向量没有确定的方向b

Ｄ．若a，则存在唯一的实数，使ab

2.设空间四点O、A、B、P，满足OPmOAnOB，其中

mn1，则（）

A.P在直线AB上B.P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对

3.①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知

ab，则a，b

与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN

不能构成空



间的一个基底，则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空



c间的一个基底，若ma，则{a,b,c,m}

也是空间的一个基底。其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

{a,b,

4．若c}是一组基底，则xyz0是

xaybzc的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在B和D11

1B1D上，且BE3B1B，DF3

D1D。

（1）证明A,E,C1,F四点共面；

（2）若EFxAByADz

AA1，求xyz

自助餐：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有OPxOAyOBzOC

(x,y,zR)，xyz1，证明A,B,C,P四点共面

第二篇：专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理

第7课时专题二向量的坐标表示和空间向量基本定理 任务1点共面问题

例1.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，

OMxOA1

1OBOC,则x的值为3

3多少 笔记：

任务2空间向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

任务3 利用空间向量证明平行、垂直问题

例4.如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB

⊥平面EFD；

笔记：

【堂中精练】

1．设





O,P,A,B为空间任意四个点，若OPmOAnOB,且mn1,则（）

A.P在直线AB上B.P,A,B三点不共线C.P有可能在直线AB上D.以上都不对

2．若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，1OMxOAOB1

OC,则x3

3的值为（）

A.1B.0C.3D.13



3．设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是

（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

4．若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b

|（）

B

CD.4点睛：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只

要

能

证

明，或

对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上

也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

点睛：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都

用、、表示出来，即

可求出x、y、z的值

点睛：证明线面平行的方

法：

①证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已 知直

线的方向向量共线

【反馈测评】

1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M,N,P,Q,R,S分别为AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点，则MNPQ化简的结果为（）A.0B.RSC.SRD.NQ











10已知A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则ABC中AC边上的高BD是

2．在以下命题中，不正确的命题个数是（）①对于空间中任意

的四点A,B,C,D恒有AB

BCCD0D；A②

|a|

b||a|b|共线；③若ab

a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间中任意的一点O和不共线的三点



A,B,C,若OPxOAyOBzOC（x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。A.1B.2C.3D.43．若点G为ABC的重心，点O是空间中任意一点，则下列结论中（）是正确的。





A.GAGBGC0

B.OG1OA1OB1OCOAOBO



22

2C.OG

C D.OG3OA3OB3O C4．下列命题正确的是（）A.若

11OPOAOB,则

P,A,B

三点共线2

3B.若{a,b,c}为一个基底，则{ab,bc,ca}也为一个基底

C.|(ab)c||a||b||c|



D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0

5.已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的射影向量的模为

6.已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则直线AB与平面xOz的交点坐标为

7.如图，在矩形ABCD中，AB1,BCa,PA平面AC，且PA1,若在BC边上存在两个

点Q,使得PQQD,则正实数a的取值范围是8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a,BB13a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE 9.设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是何三角形

11.若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b| 多少

12.如图所示，边长为a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,E

BD,AE上的动点，且ANDM,试用向量解决：（1）证明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

与A、B、C共面。(2)P与A、B、C三点不共面

例2.1/3 例3

例4.连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则

【堂中精练】5.A6.D7.C8.C 【反馈测评】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a(2,).8.AEa或2a。

9.锐角三角形

12.(1)

由

C|a3b|(a3b)13913.题意，设

BBD



MEA

E

x(x0

N

则1),BMxBDx(BABC),ENxEAx(BABE),MNBNBMBEENBM



.B(ExB)A(BEx)B(A1xB)BCExBC

MN//面EBC，MN面EBC，MN//面EBC。

(2)|MN|maxasin



2.

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教学设计

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a ；

分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、讲解新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

3、两个非零向量的夹角：

 如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OAaO ,Bb，则AOB0叫做向量a与b的夹角，ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的0,范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。（2）只有非零向量之间才存在夹角；

（3）如果∠AOB=0°a与b同向；

（4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：ab；

（5）如果∠AOB=180°a与b反向。

三、讲解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2.作法：见教材

四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业

第五篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学 自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境 导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论 合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示 归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决 巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练 反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

以平面向量基本定理为主题，从预习知识到探究定理，学生始终参与学习，参与探究，主观性与积极性得到了充分发挥，学习与探求知识的能力得到了极大的提升；应用定理解决问题，培养了学生的应用意识；通过学习定理，让学生体会了转化思想，提高了学习的综合能力。