用向量证明正弦定理

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第一篇：用向量证明正弦定理

用向量证明正弦定理

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

第二篇：向量证明正弦定理

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠p-ABC的三个面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所对的二面角依次为∠pA，∠pB，∠pC，则Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BpC于O。过O分别做OM⊥Bp于M与ON⊥pC于N。连结AM、AN。显然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。则Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可证Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

第三篇：向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

第四篇：用正弦定理证明三重向量积

用正弦定理证明三重向量积

作者：光信1002班 李立

内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(ab)c(cb)a(ca)b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、ab可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、ab放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，ab与z轴同向。如草图所示：

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

cczcxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b这两个式子等价

现在我们考虑(ab)c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(ab)c与a、b共面，a与b不共线，不妨设（ab)cxayb，a,cxy

（,),b,cxy

(0,)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

ab）cSin[-a,b]

Sin[

xa

yb

Sin[a,cxy

k]

b,cxy

又因为ab）cabcSina,b

所以，解得k=abc，于是解得：

x= bcxyCosb,cxyyacxyCosa,cxy

bcxy acxy

由图示和假定的条件，(ab)c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，所以，（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(ab)c(cb)a(ca)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。

第五篇：用向量法证明正弦定理教学设计（推荐）

用向量法证明正弦定理教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一

些简单的三角形度量问题。

2、过程与方法：让学生通过向量方法证明正弦定理，了解知识之间的联系，让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索

性与创造性，让学生体验成功的喜悦。

二、教学重难点分析

重点：正弦定理的向量证明过程并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问

题。

难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形

时解的个数的判断。

三、教学过程

1.借助Rt△ABC，中找出边角关系。

在RtABC中，设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin A=,sinB=,sinC=, 则在这三个式子中，能得到c===从而在直角三角

abc形ABC中，C sinsinsin2.那么在任意三角形中这个结论是否成立？通过向量进行证明。

过点A作单位向量jAC，由向量的加法可得ABACCB



则 jABj(ACCB)

∴jABjACjCB

jABcos900A0jCBcos900C

ac∴csinAasinC，即bcn同理，过点C作jBC，可得从而

a

siAnbsBinsin c

从上面的研探过程，可得以下定理

3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abcsinAsinBsinC

4.总结正弦定理适用范围

范围a：已知三角形的两边及其中一边的对角，求另外一边的对角

范围b：已知三角形两角一边求出另外一边

5.定理变形：

a:b:c=sinA:sinB:sinC

6.例题讲解

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，先利用内角和180°求出

第三角，再利用正弦定理.7.能力提升

例2：在△ABC中，°，a=2,求b,B,C。

评述：此类问题结果为多解，学生容易产生漏解的情况，在此题的解题过程

中，让学生自主练习，然后在课堂上讨论，通过相互交流，总结出存在多解的情况，应与大边对大角结合分情况讨论，培养学生分类讨论的思想。

8.课堂总结

总结本堂课的内容：正弦定理、正弦定理适用范围、正弦定理应该注意的问题

9.课后作业

（1）在ABC中，已知角

B45，c22,b43，则角A的值是 A.15B.75C.105D.75或15

（2）在△ABC中,若A30,B60,则a:b:c

B60，b76,a14，则A=ABC（3）在中，若

a,b2,B45ABC（4）在中，已知，解三角形。

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