用向量法证明

第一篇：用向量法证明

用向量法证明

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第二篇：用向量法证明平行关系

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

课题: 3.2.1用向量法证明平行关系

编制人：刘本松、张文武、王伟洁审核人：领导签字： 【使用说明】1.用20分钟仔细研读课本P95-P98,认真限时完成问题导学预习自测；

2.具体要求：

三、练一练：

3

1、已知点A(3,4,0),B(2,5,5),而且BCOA，其中O为坐标原点，点C的坐标为

5

2、l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(,4,6)，若l1//l2，则等于

3、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面

（1）用向量表示直线或点在直线上的位置；

（2）用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行；

【学习目标】 1.掌握用向量法证明平行关系，提高概念理解和应用能力；

2.独立思考，合作学习，探究向量法研究空间平行问题的规律方法； 3.激情投入，形成扎实严谨的数学思维品质.【课前预习】

一、重点：用向量证明空间的平行关系；难点：空间向量在证明平行关系中的应用.二、问题导学

1.类比平面内直线的向量参数方程，写出空间直线的向量参数方程.思考：当t

1时，线段AB中点M的向量表达式是2.设v

21和v2分别是直线l1和l2的方向向量，则由向量共线的条件，得l1//l2或l1和l2重合的充要条件是什么？

l//或l在内的充要条件是什么？

//或与重合的充要条件是什么？

ABC内？ OM2OAOBOC

(四)我的疑问：

【课内探究】

一、讨论、展示、点评、质疑

探究一：用向量表示直线或点在直线上的位置

已知点A(2,3,0),B(1,3,2)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两

点，且满足条件：（1）AQ:QB2；（2）AP:PB2:3.求点P和点Q的坐标.拓展1：已知点A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

拓展2：已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直线BD//CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但是它们不在同一个平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM1

1BD,ANAE.证明：直线MN//平面CDE.3

3E

【规律方法总结】探究二：用向量法证明空间中的平行关系

如图，已知正方体ABCDA'B'

C'

D'，点M,N分别是面对角线A'B与面对角线AC''的中点.求证：MN//侧面AD'

；MN//AD'，并且MN1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC, E是PC的中点.用向量法证明PA//平面EDB.E

C

B

【规律方法总结】

二、课堂小结：

1.知识与方法方面：2.数学思想方法方面：

第三篇：用向量法证明直线与直线平行

用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行导学案

一、知识梳理



1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v1、v2与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使

v1＝xv1＋yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分

必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。

对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平

面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS 12BD。

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式应用

3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练

→＝AB→，则点B应为1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，则C的坐标是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，则λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.

第四篇：向量法证明不等式

向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由

综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余边同理

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得i*BA+i*AC=0①根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

第五篇：浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

15号

海南华侨中学（570206）王亚顺

摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。

关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何

在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。

立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。

下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关

定理。

定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积

称为与的数量积。记为cos。特别地，若非零向量与

【1】 垂直，即，则0

定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为

。它的模为sin，其中为向量与之间的（或,）夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序

构成右手坐标系【2】。如图

1图1

【3】定理1两个向量与共线的充分必要条件是0。

定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得

【4】 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作,或者,,。

定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即

【5】 ,,,,,,,,,,,,。

下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。

直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：如图2，a,b,且ab,证明：a。

图2图

3分析：在平面内找到一直线c，证明a,bc0即可。

证明：如图3，在平面内的直线b上取一点o，过o点作一直

线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、c。

aba与b共线即ab0.

根据定理2，有a,bcc,ab0，即a与bc垂直。

直线a与平面的垂线垂直，又直线a在平面外，a。证毕

平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图4，a,b,abP,a,b,证明：。

图4图

5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。

证明：如图5，设直线m为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向

量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则

由平面向量基本定理可知，mab。

a,ba,cdb,cd0 

m,cdab,cda,cdb,cd0 

即直线m与平面平行，又直线m为平面内任一条直线。

。证毕

直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

已知：如图6，l

证明：l。

a,lb,a,b,abP

分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面内任一条直线，又设直线a、b、c、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不

共线的向量，由平面向量基本定理，有c1a2b。

la,lbalbl0

cl1a2bl1al2bl0 

cl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面内任一条

直线，由线面垂直定义可知l。证毕

用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。

参考文献：

【1】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，117；