第一篇：浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理
浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理
15号
海南华侨中学（570206）王亚顺
摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。
关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何
在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。
立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。
下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关
定理。
定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积
称为与的数量积。记为cos。特别地，若非零向量与
【1】 垂直，即，则0
定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为
。它的模为sin，其中为向量与之间的（或,）夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序
构成右手坐标系【2】。如图
1图1
【3】定理1两个向量与共线的充分必要条件是0。
定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得
【4】 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作,或者,,。
定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即
【5】 ,,,,,,,,,,,,。
下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。
直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：如图2，a,b,且ab,证明：a。
图2图
3分析：在平面内找到一直线c，证明a,bc0即可。
证明：如图3，在平面内的直线b上取一点o，过o点作一直
线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、c。
aba与b共线即ab0.
根据定理2，有a,bcc,ab0，即a与bc垂直。
直线a与平面的垂线垂直，又直线a在平面外，a。证毕
平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。
已知：如图4，a,b,abP,a,b,证明：。
图4图
5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。
证明：如图5，设直线m为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向
量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则
由平面向量基本定理可知，mab。
a,ba,cdb,cd0
m,cdab,cda,cdb,cd0
即直线m与平面平行，又直线m为平面内任一条直线。
。证毕
直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：如图6，l
证明：l。
a,lb,a,b,abP
分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面内任一条直线，又设直线a、b、c、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不
共线的向量，由平面向量基本定理，有c1a2b。
la,lbalbl0
cl1a2bl1al2bl0
cl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面内任一条
直线，由线面垂直定义可知l。证毕
用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。
参考文献：
【1】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出
版社，1999年9月，107；
【2】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出
版社，1999年9月，110；
【3】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出
版社，1999年9月，110；
【4】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出
版社，1999年9月，116；
【5】
王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出
版社，1999年9月，117；
第二篇：立体几何证明的向量公式和定理证明
高考数学专题——立体几何
遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。
立体几何证明的向量公式和定理证明
附表2
第三篇：向量法证明正弦定理
向量法证明正弦定理
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
2如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C
由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)
在向量等式两边同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
2步骤
1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB
=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)
=>a/sinA=c/sinC
2011-7-1817:16jinren92|三级
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得
第四篇：用向量证明正弦定理
用向量证明正弦定理
如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C
由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)
在向量等式两边同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
2步骤
1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB
=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)
=>a/sinA=c/sinC
2011-7-1817:16jinren92|三级
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D.(1)当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°-B，向量AC与向量AD的夹角为90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°-B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时，同样可以证得
第五篇：用向量法证明
用向量法证明
步骤1
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC
步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!
设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形
则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c
平方(1)
向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d
平方(2)
(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理
过A做AG‖DC交EF于p点
由三角形中位线定理有：
向量Ep=½向量BG
又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)
∴向量pF=½(向量AD+向量GC)
∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=½(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得证
先假设两条中线AD,BE交与p点
连接Cp,取AB中点F连接pF
pA+pC=2pE=Bp
pB+pC=2pD=Ap
pA+pB=2pF
三式相加
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF
3pA+3pB+2pC=2pF
6pF+2pC=2pF
pC=-2pF
所以pC,pF共线，pF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点p
连接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=Op+pD
OE=Op+pE
OF=Op+pF
OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
由第一问结论
2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp
2pA+2pB+2pC=0
1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp
所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op
向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
点击咨询 