立体几何证明中常用知识点范文合集

第一篇：立体几何证明中常用知识点

立体几何证明中常用知识点

一、判定两线平行的方法

1、平行四边形

2、中位线定理

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行的性质定理）

4、比例关系

二、判定线面平行的方法

1、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（线面平行的判定定理）

2、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行的性质定理1）

三、判定面面平行的方法

1、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（面面平行的判定定理）

2、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两面平行（面面平行的判定定理的推论）

四、判定两线垂直的方法

1、定义：成90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（线面垂直的性质定理）

3、三线合一

五、判定线面垂直的方法

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（线面垂直的判定定理）

2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直的性质定理）

六、判定面面垂直的方法

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（面面垂直的判定定理）

第二篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

第三篇：立体几何证明

1、（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱

交B1C于点F，BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，（1）求证：A1C⊥平面BDE；



D3．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，为棱CC

1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心.（1）求证：MNBC； ．

A

B

4.如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；



A11

（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA

1BC11D1是正方体，其中AB2,PA

（1）求证：PAB1D1；

6．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，7、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

8.正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；

P（2）求证：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；（2）AC面AB1D1．(14分)

1

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命题正确的是………………………………………………（）

B

A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面

2．若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与a异面B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一的直线与a平行D．内的直线与a都相交

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面

4．正方体ABCDA'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角

A．0B．45C．60D．90

5．平面与平面平行的条件可以是…………………………（）

A．内有无穷多条直线都与平行C．直线a，直线b且a//，b// B．直线a//,a//且直线a不在内，也不在内D．内的任何直线都与平行 6．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命题中错误的是……………………………………（）A． 如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B． 如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面，，l，那么l

8．直线a//平面，P，那么过点P且平行于的直线…………（）A． 只有一条，不在平面内B．有无数条，不一定在内C．只有一条，且在平面内D．有无数条，一定在内 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

第四篇：高中数学知识点--立体几何

【高中数学知识点】立体几何学习的几点建议.txt

一 逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。

二 立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三 “转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位臵关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五 总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。六 典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

第五篇：立体几何知识点梳理

1.证明线面垂直的方法

1线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；

m、n，mnA2判定定理1：l；lm，ln

3判定定理2：，a；4面面平行的性质：，a；5面面垂直的性质：，l，a，ala.2．证明线线垂直的方法

1平面几何中证明线线垂直的方法；2线面垂直的性质：a，bab； 3线面垂直的性质：a，b//ab.3．证明面面垂直的方法

判定定理：a，a.4、垂直关系的转化

判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．

5．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．