立体几何的证明策略

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第一篇:立体几何的证明策略

立体几何的证明策略:

几何法证明

证明平行:3,2,11、线线平行:公理四,10页

线面平行的性质定理,课本20页面面平行的性质定理,36页

2、线面平行:线面平行的判定定理,19页面面平行的性质,36页

3、面面平行:面面平行的判定定理,35页 证明垂直:2,2,11、线线垂直:平移,相交,解三角形线面垂直的定义,23页

2、线面垂直:线面垂直的判定定理,24页面面垂直的性质定理,43页

3、面面垂直:面面垂直的判定定理,43页 向量法证明:

1、线线平行:

ab 

2、线面平行:a1b2c



3、面面平行:a1c2d且b3b4c 

4、线线垂直:ab0



5、线面垂直:ab0且ac0



6、面面垂直:n1n20

求角的方法:

线线角:平移,相交,解三角形

cosab

| a|b|||

线面角:斜线与射影夹角



an

2arcco|a

|n|||

二面角:位置形状两个角度

位置:水平,竖直,有垂面(借助三垂线定理)形状:等腰,直角,全等cos

s1s



与arccos|n1n2

|n|相等或互补 1||n2|

求距离的方法

线线距离:公垂线段

转化为点面距离



d|an

|n|

|其中a是斜向量 点面距离:垂线段(可以借助垂面)转化为其他点到平面距离等体积法



d|an

|n|

|其中a是斜向量

第二篇:立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑):

Ⅰ.平行关系:

线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系:

线线垂直:1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直:1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直。

四个判定定理:

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理:

空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

四个性质定理:

①一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理,在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分,我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时,要充分发挥几何直观的作用,而不是形式上的推导。例如,平行于同一平面的二直线平行的证明方法,有的老师就是采用了一种很

第三篇:立体几何证明

1、(14分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;

(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.

A

2.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱

交B1C于点F,BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,(1)求证:A1C⊥平面BDE;

D3.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,BCAC2,AA14,为棱CC

1上的一动点,M、N分别为ABD、A1B1D的重心.(1)求证:MNBC; .

A

B

4.如图,在三棱拄ABCA1B1C1中,AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

(Ⅰ)求证:C1B平面ABC;

A11

(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1;.A

A1

B1

C

E

C15、如图,P—ABCD是正四棱锥,ABCDA

1BC11D1是正方体,其中AB2,PA

(1)求证:PAB1D1;

6.(本小题满分12分)

如图,矩形ABCD,|AB|=1,|BC|=a,PA⊥平面ABCD,|PA|=1。(1)BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD,并说明理由;(2)若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD,指出点Q的位置,7、如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA面ABCD,PA=AB=1,BC=2(Ⅰ)求证:平面PDC平面PAD;

8.正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:平面AB'D'//平面C'BD。

9..(14分)如图所示,在斜边为AB的Rt△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.(1)求证:BC⊥面PAC;

P(2)求证:PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点,且EH∥FG. 求证:EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:(1)C1O面AB1D1;(2)AC面AB1D1.(14分)

1

CD、DA上的A

HD

SBC.(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1.下列命题正确的是………………………………………………()

B

A.三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面D.两条相交直线确定一个平面

2.若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是()A.内的所有直线与a异面B.内不存在与a平行的直线 C.内存在唯一的直线与a平行D.内的直线与a都相交

3.平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面

4.正方体ABCDA'B'C'D'中,AB的中点为M,DD'的中点为N,异面直线B'M与CN所成的角

A.0B.45C.60D.90

5.平面与平面平行的条件可以是…………………………()

A.内有无穷多条直线都与平行C.直线a,直线b且a//,b// B.直线a//,a//且直线a不在内,也不在内D.内的任何直线都与平行 6.已知两个平面垂直,下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………()A.3B.2C.1D.0

7.下列命题中错误的是……………………………………()A. 如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面,那么平面一定存在直线平行于平面

C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面,,l,那么l

8.直线a//平面,P,那么过点P且平行于的直线…………()A. 只有一条,不在平面内B.有无数条,不一定在内C.只有一条,且在平面内D.有无数条,一定在内 9.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中

①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是()

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

第四篇:立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法:

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。(线面平行的性质定理)

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理)

5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理)

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法:

1、定义法:直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。(线面平行的判定定理)

3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法:

1、定义法:两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理)

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法:

1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理)

4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理)

5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法:

1、定义法:两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(面面垂直的判定定理)

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。

第五篇:立体几何垂直证明范文

立体几何专题----垂直证明

学习内容:线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法:(1)通过“平移”。(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。(3)利用勾股定理。(4)利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角,等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1.在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=

12DC,E为PD中点.求证:AE⊥平面PDC.、2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,∠PDA=45°,点E为棱AB的中点. 求证:平面PCE⊥平面PCD;

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA=AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中,ACBC2,ACB90,APBPAB,PCAC.

(Ⅰ)求证:PCAB;

P

(Ⅱ)求二面角BAPC的大小;A

B

C5、如图,在三棱锥PABC中,⊿PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 º 证明:AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、如图,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,求证:PA平面ABCD;

_A _D

_B_C7、如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CACBCDBD2,ABAD

(1)求证:AO平面BCD;

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,M为BB1的中点,求证:D1O⊥平面MAC.9、如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,求证:A1C⊥平面BDE;

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A11、如图,在圆锥PO中,已知PO,⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点,D为AC的中点.证明:平面POD

平面PAC;

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