用向量法证明平行关系

第一篇：用向量法证明平行关系

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

课题: 3.2.1用向量法证明平行关系

编制人：刘本松、张文武、王伟洁审核人：领导签字： 【使用说明】1.用20分钟仔细研读课本P95-P98,认真限时完成问题导学预习自测；

2.具体要求：

三、练一练：

3

1、已知点A(3,4,0),B(2,5,5),而且BCOA，其中O为坐标原点，点C的坐标为

5

2、l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(,4,6)，若l1//l2，则等于

3、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面

（1）用向量表示直线或点在直线上的位置；

（2）用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行；

【学习目标】 1.掌握用向量法证明平行关系，提高概念理解和应用能力；

2.独立思考，合作学习，探究向量法研究空间平行问题的规律方法； 3.激情投入，形成扎实严谨的数学思维品质.【课前预习】

一、重点：用向量证明空间的平行关系；难点：空间向量在证明平行关系中的应用.二、问题导学

1.类比平面内直线的向量参数方程，写出空间直线的向量参数方程.思考：当t

1时，线段AB中点M的向量表达式是2.设v

21和v2分别是直线l1和l2的方向向量，则由向量共线的条件，得l1//l2或l1和l2重合的充要条件是什么？

l//或l在内的充要条件是什么？

//或与重合的充要条件是什么？

ABC内？ OM2OAOBOC

(四)我的疑问：

【课内探究】

一、讨论、展示、点评、质疑

探究一：用向量表示直线或点在直线上的位置

已知点A(2,3,0),B(1,3,2)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两

点，且满足条件：（1）AQ:QB2；（2）AP:PB2:3.求点P和点Q的坐标.拓展1：已知点A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

拓展2：已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直线BD//CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但是它们不在同一个平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM1

1BD,ANAE.证明：直线MN//平面CDE.3

3E

【规律方法总结】探究二：用向量法证明空间中的平行关系

如图，已知正方体ABCDA'B'

C'

D'，点M,N分别是面对角线A'B与面对角线AC''的中点.求证：MN//侧面AD'

；MN//AD'，并且MN1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC, E是PC的中点.用向量法证明PA//平面EDB.E

C

B

【规律方法总结】

二、课堂小结：

1.知识与方法方面：2.数学思想方法方面：

第二篇：用向量法证明直线与直线平行

用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行导学案

一、知识梳理



1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v1、v2与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使

v1＝xv1＋yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分

必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。

对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平

面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS 12BD。

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式应用

3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练

→＝AB→，则点B应为1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，则C的坐标是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，则λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.

第三篇：用向量法证明

用向量法证明

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：3.2.用向量方法证明平行关系(小卷)

高二当堂检测卷（数学3试卷）

命题人：备课组长签字：试卷总分20分

班级学生姓名检测时间：月日 星期第节 课题：3.2.1用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 检测重点：直线与平面平行的证明

1、（5分）空间直角坐标系中，A(1，2，3),B(1，0，5),C(3，0，4),D(4，1，3),则直线AB与CD的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判定

2、（10分）已知矩形ABCD和矩形ADEF,AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM证明：直线MN//平面CDE.3、（5分）（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任一点O，点M满足11BD,ANAE.33

111填“共面”或“不共面”）.,则点M与点A,B,C333

聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚

第五篇：用向量证明线面平行（共）

用向量证明线面平行面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然平行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都平行。但0向量不垂直与面。比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c)那么m=a(x,y,z)这不完全对。

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z)而(m,n,p)是在原点与平面的垂线的交点, 我们得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1)这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行

但是书后的答案说两直线是平行的。。你确定题没有写错吗? 其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b)= λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa)= λ(-a)。