3.2.1用向量方法证明平行与垂直关系（小编整理）

第一篇：3.2.1用向量方法证明平行与垂直关系

§3.2.1用向量方法证明平行与垂直

1、直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个。2.平面的法向量

直线l，取直线l的a,则向量a叫做平面的。

3、空间中平行关系的向量表示（1）线线平行与垂直

设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，且a2,b2,c2≠0，则

l//mlm（2）设直线设直线l的方向向量为的法向量。

题型二 利用向量方法证平行关系

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC

1【练习2】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,∠BCF=∠CEF=90º, AD=3,EF=2,求证：AE//平面DCF.D

A a=(a1,b1,c1)，平面若的法向量为u=(a2,b2,c2),则l//。l（3）面面平行

设平面， 的法向量分别为u=(a1,b1,c1),F

题型三 用向量方法证垂直关系

【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分

别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，v=(a2,b2,c2),则//

使得D1M⊥平面EFB1.；



题型一 求平面的法向量 【例

经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，试求平面的一个法向量。

【练习1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CD的中点，求证：AE是平面A1D1F

【练习3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥A1B,求证：AC1 ⊥A1B.1】已知平面

课时作业

一、选择题

1、已知A(3,5,2),B(-1,2,1)，把AB按向量a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0)B.(-4,-3,-1)C.(-2,-1,0)D.(-2,-2,0)2.平面的一个法向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（2，－1，0），则平面与的位置关系是

A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能确定 3.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长AB=34,则B点坐标为

A.（－9，－7，7）B.（18，17，－17）C.（9，7，－7）D.（－14，－19，31）

4、已知a=（2，4，5）b=（3，x,y）分别是直线l1,l2的方向向量，若l1//l2，则 A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=

1521

52B

C9、△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：平面DEA⊥平面ECA.10、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F(1)证明：PA//平面EDB;(2)证明：PB⊥平面EFD.5、若直线l的方向向量为a=(1,0，2,)，平面的法向量为u=(-2,0,-4),则

A.l//B.l ⊥C.lD.l与斜交

二、填空题

6、已知A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,-1，5),若|a|=3,且a ⊥AB, a ⊥AC,则向量a的坐标为

7、已知平面经过点O（0，0，0），且e=(1,1,1)是的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式是。

三、解答题

8、如图，已知P是正方形ABCD平面外一点，M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA=BN:ND=5:8,求证：直线MN//平面PBC

0-

E

A

B

第二篇：9-5用向量方法证明平行与垂直

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

例2．（线线垂直）

如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.例3．（线面平行）

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例4．（线面垂直）

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB平面ABCD.第四页E是SC中点.求证：

平面BDEy，2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

8．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能确定

9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对

10．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为

11，2，2，则m＝________.11．如右上图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．

9.如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三页

10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos〈DP,AE〉=33

.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F,使EF

⊥平面

PCB

.第四页

第三篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直

用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

第四篇：用向量法证明平行关系

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

课题: 3.2.1用向量法证明平行关系

编制人：刘本松、张文武、王伟洁审核人：领导签字： 【使用说明】1.用20分钟仔细研读课本P95-P98,认真限时完成问题导学预习自测；

2.具体要求：

三、练一练：

3

1、已知点A(3,4,0),B(2,5,5),而且BCOA，其中O为坐标原点，点C的坐标为

5

2、l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(,4,6)，若l1//l2，则等于

3、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面

（1）用向量表示直线或点在直线上的位置；

（2）用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行；

【学习目标】 1.掌握用向量法证明平行关系，提高概念理解和应用能力；

2.独立思考，合作学习，探究向量法研究空间平行问题的规律方法； 3.激情投入，形成扎实严谨的数学思维品质.【课前预习】

一、重点：用向量证明空间的平行关系；难点：空间向量在证明平行关系中的应用.二、问题导学

1.类比平面内直线的向量参数方程，写出空间直线的向量参数方程.思考：当t

1时，线段AB中点M的向量表达式是2.设v

21和v2分别是直线l1和l2的方向向量，则由向量共线的条件，得l1//l2或l1和l2重合的充要条件是什么？

l//或l在内的充要条件是什么？

//或与重合的充要条件是什么？

ABC内？ OM2OAOBOC

(四)我的疑问：

【课内探究】

一、讨论、展示、点评、质疑

探究一：用向量表示直线或点在直线上的位置

已知点A(2,3,0),B(1,3,2)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两

点，且满足条件：（1）AQ:QB2；（2）AP:PB2:3.求点P和点Q的坐标.拓展1：已知点A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

拓展2：已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直线BD//CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但是它们不在同一个平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM1

1BD,ANAE.证明：直线MN//平面CDE.3

3E

【规律方法总结】探究二：用向量法证明空间中的平行关系

如图，已知正方体ABCDA'B'

C'

D'，点M,N分别是面对角线A'B与面对角线AC''的中点.求证：MN//侧面AD'

；MN//AD'，并且MN1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC, E是PC的中点.用向量法证明PA//平面EDB.E

C

B

【规律方法总结】

二、课堂小结：

1.知识与方法方面：2.数学思想方法方面：

第五篇：3.2.用向量方法证明平行关系(小卷)

高二当堂检测卷（数学3试卷）

命题人：备课组长签字：试卷总分20分

班级学生姓名检测时间：月日 星期第节 课题：3.2.1用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 检测重点：直线与平面平行的证明

1、（5分）空间直角坐标系中，A(1，2，3),B(1，0，5),C(3，0，4),D(4，1，3),则直线AB与CD的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判定

2、（10分）已知矩形ABCD和矩形ADEF,AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM证明：直线MN//平面CDE.3、（5分）（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任一点O，点M满足11BD,ANAE.33

111填“共面”或“不共面”）.,则点M与点A,B,C333

聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚