第一篇:空间几何——平行与垂直证明
三、“平行关系”常见证明方法
(一)直线与直线平行的证明
1)利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行
2)利用三角形中位线性质
3)利用空间平行线的传递性(即公理4):
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理: a∥ca∥bb∥c
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a∥
aβ a a∥
b
α b b
5)利用平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.//aa//b
b
6)利用直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
baa∥
b7)利用平面内直线与直线垂直的性质:
8)利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点
(二)直线与平面平行的证明
1)利用直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
ab
a∥
b
a∥b
2)利用平面与平面平行的性质推论:
两个平面互相平行,则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a
∥
a∥
a
β
3)利用定义:直线在平面外,且直线与平面没有公共点
(二)平面与平面平行的证明
常见证明方法:
1)利用平面与平面平行的判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
a⊂b⊂a∩bPa//b//
//
b
2)利用某些空间几何体的特性:如正方体的上下底面互相平行等 3)利用定义:两个平面没有公共点
三、“垂直关系”常见证明方法
(一)直线与直线垂直的证明
1)利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角:两条共(异)面直线的夹角为90°,则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质:
如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
a
b
ba
b
a
4)利用平面与平面垂直的性质推论:
如果两个平面互相垂直,在这两个平面内分别作垂直于交线的直线,则这两条直线互相垂直。
l
abalbl
a
b
5)利用常用结论:
① 如果两条直线互相平行,且其中一条直线垂直于第三条直线,则另
一条直线也垂直于第三条直线。
a∥b
ac
b
c
② 如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面,那么
这两条直线互相垂直。
a
b∥
ab
b
(二)直线与平面垂直的证明
1)利用某些空间几何体的特性:如长方体侧棱垂直于底面等
2)看直线与平面所成的角:如果直线与平面所成的角是直角,则这条直线垂
直于此平面。
3)利用直线与平面垂直的判定定理:
ababAlalb
l
l
b
A
a
4)利用平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l
aal
a
l
5)利用常用结论:
①
a∥bb
a
② 两个平面平行,一直线垂直于其中一个平面,则该直线也垂直于另一
个平面。
∥
a
a
(三)平面与平面垂直的证明
1)利用某些空间几何体的特性:如长方体侧面垂直于底面等
2)看二面角:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角(即平面角
是直角的二面角),就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
aa
a
第二篇:证明空间线面平行与垂直
证明空间平行与垂直
知识梳理
一、直线与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:直线与平面无公共点。
(2)判定定理: a
ba//ba//
//
(3)其他方法:a//a
a//
2.性质定理:a
a//b
b
二、平面与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:两平面无公共点。
a//
b//
(2)判定定理:a //
b
abP
(3)其他方法:aa// //;// a//
//
2.性质定理:a a//b
b
三、直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。
(2)判定方法
① 用定义.abac
② 判定定理:bcAa
b
c
a
③ 推论: b
a//b
(3)性质 ①
aa
ab②a//bbb
四、平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。
a
(2)判定定理
a
(3)性质
l
①性质定理
a
al
l②Al
P
PA垂足为A④PA
PPA
“转化思想”
面面平行线面平行 线线平行 面面垂直线面垂直 线线垂直
例题1.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,(I)求证:AC⊥BC1;(II)求证:AC 1//平面CDB1;例
题2.如图,在棱长为2的正方体
ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点,P为BB1的中点.(I)求证:BD1B1C;(II)求证BD1平面MNP;
例题3.如图,在三棱锥VABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且ACBCa,∠VDC0(I)求证:平面VAB⊥平面VCD;
π. 2
π
(II)试确定角的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为.
D
例题4.(福建省福州三中2008届高三第三次月考)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱CC1的中点,AE交A1D于点H.BB
(1)求证:AE平面A1BD;
(2)求二面角DBA1A的大小(用反三角函数表示);
A1
CHA
C
第三篇:证明平行与垂直
§9.8 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明
平行与垂直
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题7分,共35分)
1.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)若a
a分别与AB,AC垂
直,则向量a为
A.1,1,1
B.-1,-1,-1
C.1,1,1或-1,-1,-1
D.1,-1,1或-1,1,-1,2.已知a=1,1,1,b=0,2,-1,c=ma+nb+4,-4,1.若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为,A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-
23.已知a=1,,,b=3,,
A352215满足a∥b,则λ等于 22992.B.C.-D.- 32234.已知AB=1,5,-2,BC=3,1,z,若AB⊥BC,BP=x-1,y,-3,且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为A.15401533,-,4B.,-,4 77774040,-2,4D.4,-15 77C.5.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是,A.a=1,0,0,n=-2,0,0
B.a=1,3,5,n=1,0,1
C.a=0,2,1,n=-1,0,-1
D.a=1,-1,3,n=0,3,1
二、填空题每小题6分,共24分
6.设a=1,2,0,b=1,0,1,则“c=(的条件.7.若|a|
b=1,2,-2,c=2,3,6,且a⊥b,a⊥c,则a=.,8.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为
212,,)”是“c⊥a,c⊥b且c为单位向量”33
39.设A是空间任一点,n为空间内任一非零向量,则适合条件AM·n=0的点M的轨迹
是.三、解答题共41分
10.(13分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为BB1、C1D1的中点,建立适当的坐标系,求平面AMN的一个法向量.
11.(14分)如图,已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正
方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
2(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,3垂足为H,求证:EM⊥面BCC1B1.12.(14分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平
面互相垂直,AB2,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.答案
1.C2.A3.B4.B5.D
6.充分不必要7.118118,2,或,2,8.1 555
5.9.过A点且以n为法向量的平面
10.解 以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则A1,0,0,M(1,1,11),N(0,1)).2211∴AM1,0,,AN0,1设平面AMN的一个法向量为n=x,y,z, 22
1nAMyz02 1nANxyz0
2令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4).
∴(-3,2,-4)为平面AMN的一个法向量.
11.证明 建立如图所示的坐标系,则BE=(3,0,1),→BF=(0,3,2),BD1=(3,3,3).
→→所以BD1=BE+BF,故BD1,BE,BF共面.
又它们有公共点B,所以E、B、F、D1四点共面.
(2)如图,设M(0,0,z),2→0,-z,而BF=(0,3,2),GM=3
得z=1.→2由题设得GMBF=3z20,3因为M(0,0,1),E(3,0,1),所以ME=(3,0,0).
→→又BB1=(0,0,3),BC=(0,3,0),→→→→所以ME·BB1=0,ME·BC=0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则点N、E的坐标分别为 ,0、(0,0,1).
22
∴NE=-1.22
又点A、M的坐标分别是2,2,0)、2222→,AM=-,1.,1,2222→∴NE=AM且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.22→(2)由(1)知AM=1,∵D(2,0,0),F2,2,1),22
DF=(0,2,1).
→→→→AM·DF=0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF,又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.
第四篇:平行与垂直的证明
立体几何中平行与垂直的证明
1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点. 求证:(1)C1O//平面AB1D1;(2)A1C⊥平面AB1D1.
ADBC
1D
B
C
2.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1,点E在棱AB上移动。求证:D1E⊥A1D;
3.如图平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF
A
E
B
C
AD2,G是EF的中点,2(1)求证平面AGC⊥平面BGC;(2)求空间四边形AGBC的体积。
4.如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中,AB8,AC6,BC10,D是BC边的中点.(Ⅰ)求证:
5.如图组合体中,三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.(Ⅰ)求证:无论点C如何运动,平面A1BC平面A1AC;
(Ⅱ)当点C是弧AB的中点时,求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比.
6.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F 为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;
(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE
上确定一点N,使得MN∥平面DAE.7.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:(1)求异面直线BC1与AA1所成的角的大小;(2)求三棱锥B
1A1C
1B的体积。(3)求证:B1D
平面A1C1B
ABA1C;(Ⅱ)求证:AC1∥ 面AB1D;
8. 如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是
SA,BD上的点,且
AMBN
=,求证:MN//平面SBC SMND
P
9. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,点E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB;(Ⅱ)求证:PB∥平面AEC.
E
A
B
D C
10.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,平面CDE是等边三角形,棱EF//BC且EF=
BC.
2(I)证明:FO∥平面CDE;
(II)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.
11. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(Ⅰ)证明PA//平面EDB;(Ⅱ)证明PB⊥平面EFD.
12.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点.
(1)求证:CDAE;(2)求证:PD面ABE.
13.如图在三棱锥PABC中,PA平面ABC,C E
C
P
B
A
DB
_P
ABBCCA3,M为AB的中点,四点P、A、M、C
都在球O的球面上。
(1)证明:平面PAB平面PCM;(2)证明:线段PC的中点为球O的球心;
14.如图,在四棱锥SABCD中,SAAB2,SBSD ABCD是菱形,且ABC60,E为CD的中点.
(1)证明:CD平面SAE;
(2)侧棱SB上是否存在点F,使得CF//平面SAE?并证明你的结论.
_A_C
_M
_B
D
C
课后练习
1.如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点。(I)求证:B1C//平面A1BD;(II)求证:B1C1⊥平面ABB1A
(III)设E是CC1上一点,试确定E的位置,使平面A1BD⊥平面 BDE,并说明理由。
2.如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,三角形ACD 为等边三角形,ADDE2AB,F为CD的中点(1)求证:AF//平面BCE;
(2)求证:平面BCE平面CDE;
1. 如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直 角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=
AD.2
(I)求证:平面PAC⊥平面PCD;
(II)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若 存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.5.如图,在四棱锥SABCD中,SAAB
2,SBSD底面ABCD是菱形,且ABC60,E为CD的中点.
(1)证明:CD平面SAE;
(2)侧棱SB上是否存在点F,使得CF//平面SAE?并证明你的结论.
D
C
【课后记】 1.设计思路(1)两课时;
(2)认识棱柱与棱锥之间的内在联系;(3)掌握探寻几何证明的思路和方法;(4)强调书写的规范性 2.实际效果:
(1)用时两节半课;
(2)平行掌握的比较好,但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。
第五篇:学霸教你学数学:空间几何—证明平行
学霸教你学数学:空间几何—证明平行
以下题为例讲解证明 线面平行,面面平行 的方法
证明线面平行
方法一:找到平面内一直线 与 该直线平行
作EG//B1B , FH//C1C
由题意可知AE=BF, 且在正方体中△AB1B≌△BC1C
所以EG平行且等于FH ,EFHG是平行四边形
找到了面ABCD中的直线GH与EF平行,所以得证
方法二:找到直线所在的平面 与 该平面平行
取点H使EH//AB,由题意可知B1E=C1F ,AE=BF,根据
△AB1B≌△C1BB1, 有B1E/C1F =AE/BF=B1H/HB ,所以FH//B1C1//BC, 找到了直线所在的平面EHF平行于面ABCD,所以得证
方法三:建立空间直角坐标系 :平面的法向量与直线所在向量的数量积等于0
以……为原点,……分别为X,Y,Z轴,设AB=1,E(0,t,1-t),F(1-t,0,1-t),得出EF(1-t,-t,0)
求出面ABCD的法向量(这题可直接看出来)
n=(0,0,1)
n*EF=0 ,所以得证
证明面面平行
方法一:找到一个平面内的两条直线分别平行另一个平面内的两条直线
(如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。)
AC1//AC,AB//CD1,BC1//AD1
AC1∩AB≠∅ ……所以得证
方法二:建立空间直角坐标系 :两平面的法向量平行(不再举例)
证明线线平行
方法一:平行于同一直线的两直线平行
方法二:两平行平面,另一平面与这两平面相交,两条交线平行
方法三:建立空间直角坐标系
其实建立空间直角坐标系方法是万能的,不过用在有些题目中会比较麻烦,不如其他方法简便。