空间中的垂直和平行的证明方法（精选）

第一篇：空间中的垂直和平行的证明方法（精选）

2.平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.4.空间线面的位置关系

(1)直线与直线

异面()

(2)直线和平面

()

(3)平面与平面(无数个公共点)

5.异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα,bα，a∥b,则a∥α.α，则l

α，Bα，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A

α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a

β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，aβ，a∥α，则α∥α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m

m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，ll⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α，nα，m∩n=B,l⊥β，α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b

∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b

∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定 α,c,dβ,a∩b=P,a

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα⊥β.α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.

第二篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直

用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

第三篇：传统方法证明平行与垂直

立体几何——证明平行与垂直

证明平行

Ⅰ、线面平行：证明线面平行就证明线平行于面内线。（数学语言）

性质：直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。Ⅱ、面面平行：证明面面平行，只需证明一个面内有一组相交线与另一平面平行。（数学语言）性质：两平行平面与第三个平面相交则两交线平行。

可看出线线平行是证明平行中的基础。

Ⅲ、证明线线平行的方法：中位线法、平行四边形法。

这两种方法的应用在证明线面平行中表现的尤为突出。具体如下：

证明线面平形关键是找到平面内与线平行的那条线。我们的方法是将所证直线朝所证平面的端点或中点平移得到与直线平行的直线，根据得到直线与原直线长为2倍关系还是相等决定在说明线线平行时用中位线法还是平行四边形法。（1）中位线法（正方形）

（2012浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为BAD＝120°，且PA⊥

平面ABCD，PA＝M，N分别为PB，PD的中点． 证明：MN∥平面ABCD；



A'B'C'，ACAA',点M，NBAC90（2012 辽宁）如图，直三棱柱ABC，AB

'B和B'C'的中心。分别为A

//平面A'ACC'（I）证明：MN；

BC'

B

C

'MNC（II）若二面角A为直二面角，求的值。

在中位线法中由底边与中位线端点连线延长线的交点确定用到的三角形。（2）平行四边形法（45套D5套）

（2010安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点。

EF

DC

A

求证：FH∥平面EDB；

(2010北京)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥，CE=EF=1.求证：AF∥平面BDE；

通过证明另一组对边平行且相等来证四边形为平行四边形，通过证另一组对边平行且等于第三条线的一半来证明其平行且相等。

证明垂直

Ⅰ、线面垂直：证线垂直于面就证明线垂直于面内一组相交线。（数学语言）

性质：若直线a垂直于平面α则a垂直于α内的所有直线。（证明异面直线平行）

1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，证明：BD⊥平面PAC。

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=

中点，DC1⊥BD。

（1）证明：DC1⊥平面BCD；

12AA1，D是棱AA1的2Ⅱ、面面垂直：证面面垂直就证面内有一条线垂直于另一平面。（数学语言）性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

Ⅲ、证明线线垂直的方法（证明异面直线垂直）

（1）由线面垂直的性质（即证线垂直于线就证线垂直于线所在的一个面）

（2012天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.证明PC⊥AD；

DP

（2012·安徽卷）平面图形ABB1A1C1C如图1－4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C15.证明：AA1⊥BC

（2）勾股定理（证明共面直线垂直）（11年大纲全国）如图，棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。

证明：SD⊥平面SAB；

第四篇：证明平行与垂直

§9.8 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明

平行与垂直

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1.已知空间三点A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分别与AB,AC垂

直，则向量a为

A.1，1，1

B.－1，－1，－1

C.1，1，1或－1，－1，－1

D.1，－1，1或－1，1，－1,2.已知a＝1，1，1，b＝0，2，－1，c＝ma＋nb＋4，－4，1.若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝1,,，b＝3,,

A352215满足a∥b，则λ等于 22992.B.C.－D.－ 32234.已知AB＝1，5，－2，BC＝3，1，z，若AB⊥BC，BP＝x－1，y，－3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是,A.a＝1，0，0，n＝－2，0，0

B.a＝1，3，5，n＝1，0，1

C.a＝0，2，1，n＝－1，0，－1

D.a＝1，－1，3，n＝0，3，1

二、填空题每小题6分，共24分

6.设a＝1，2，0，b＝1，0，1，则“c＝(的条件.7.若|a|

b＝1，2，－2，c＝2，3，6，且a⊥b，a⊥c，则a＝.,8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为

212,,)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”33

39.设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件AM·n=0的点M的轨迹

是.三、解答题共41分

10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量.

11．(14分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正

方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，3垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.118118,2,或，2,8.1 555

5.9.过A点且以n为法向量的平面

10.解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A1，0，0，M(1，1，11)，N(0，1)).2211∴AM1,0,,AN0，1设平面AMN的一个法向量为n＝x，y，z, 22

1nAMyz02 1nANxyz0

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量．

11.证明 建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．

(2)如图，设M(0,0，z)，2→0，－z，而BF＝(0，3，2)，GM＝3

得z＝1.→2由题设得GMBF=3z20，3因为M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 ，0、(0,0,1)．

22

∴NE＝－1.22

又点A、M的坐标分别是2，2，0)、2222→，AM＝－，1.，1，2222→∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F2，2，1)，22

DF＝(0，2，1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

第五篇：空间中的平行关系的判断与证明

2012高三复习教案-1

2课题：平行与垂直关系的证明

学习目标：掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的证明问题.(注意平行关系的相互转化)学习重点：平行关系的证明

学习重点：线线、线面、面面平行关系的相互转化。

一、主要知识及主要方法：

3.面面平行的证明：

（二）典例分析：例1．（1）a、b、c是条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

(1)

a∥ca∥∥c∥c

a∥b;(2)a∥b；(3)∥;(4)a∥;b∥cb∥∥ca∥c

(5)

∥∥

∥(6)a∥;其中正确的序号是_______∥a∥

(2)．设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是()

A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ

例2．已知M、N、P是下列正方体各棱的中点，则AB//平面MNP的图形序号是__________

①

②

③

B

④

A

例3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中ABAC，PA平面ABCD，且 PAAB，点E是PD的中点（.1）ACPB

（2）PB//平面EAC

E

CD

例4．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）平面MNP∥平面A1BD.（2）AP⊥MN；

C

P

B

M

A

C

1例5．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1

AB，点E、M分别为A1B、CC1的中点，2B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N。(1）求证：EM//平面A1B1C1D1；过点A（2）设

1、截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.A

例6．如图，设P为正方形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD。M、N、O分别为BC、PA、BD的中点，(1)求证：BDON；(2)在直线AB上是否存在一点S，使得SN//平面PDM，若存在，求出S点位置；若不存在，说明

理由。

D

A

例7．（09四）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45(1)求证：EF平面BCE；

(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE(3)求二面角FBDA的大小



B

C

M

E

B

D

P C



例8．如图，DC平面ABC，EB//DC，ACBCEB2DC2，ACB120，P,Q分别

为AE,AB的中点．

（1）证明：PQ//平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

例9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A点D在B1C1上，A1B、AC1的中点，1DB1C。

平面BB1C1C.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD

例10．四边形ABCD为矩形，AD面ABE，AEEBBC2。F为CE上的点且BF面ACE(1)AEBE

(2)求三棱锥DAEC体积

(3)设M在线段上AB且AM2MB在CE是否存在 一点N使MN//面DAE若存在确定点N位置，不存在说明理由

D

C

F

A

B

E