线线、线面平行垂直的证明

第一篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

第二篇：线面 线线面面平行垂直方法总结

所有权归张志涛所有

线线平行

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）

2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行

3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.5.平行线分线段成比例定理的逆定理

线面平行

1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。）

2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点

5.反证法（线与面相交，再推翻）

6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行

8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.面面平行

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）

6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.线线垂直

1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这

所有权归张志涛所有

条直线垂直于斜线。

线面垂直

1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直

1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质

主要性质

1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）

1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）

直线在平面内判定方法

1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.4.【性质】X3及垂直关系性质

5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.直线在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.2.【性质】X5、X7及垂直关系性质

主要性质

3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.所有权归张志涛所有

【性质】

1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质

2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）

第三篇：线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

第四篇：线面垂直的证明中的找线技巧



线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1如图1，在正方体ABCDA1BC11D1中，AO平面MBD．

1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

32322

2设正方体棱长为a，则A1Oa，MOa．

2492222

AMa．∵AO在Rt△AC中，∴AOMOMMO2AM111111

4∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

证明：连结MO，

． ∵OM

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

判定性质

判定性质

线面垂直面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA

平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAEAE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

．∵SC平面AEFG，∴SCAE

．∴

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC

∵

BC，∴CFAB．

ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD

平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，PBC． ∵PA

AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∴PA

BC．

平面ABC，BC平面ABC，BC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

即证线面垂直，而证线面垂直则需从

D证明：过A作AO⊥平面BCD于O

ABCD，CDBO 同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

于是BDCOBDAC

A

C

证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

8.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

C

EN//

.证：取PD中点E，则

DC

2C

EN

AE/

//AM

/MN

9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：

A'C

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

D

解： G∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG EAB∴A'E⊥BC

F设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

222

A'D=A'E+ED-2•A'E•EDcos60°

=3a

222

∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明:

①∵SA平面ABC∴SABC又∵BCAB, 且ABSA = A∴BC平面SAB∵AN平面SAB∴ANBC②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B∴AN平面SBC∵SCC平面SBC∴ANSC又∵AMSC, 且AMAN = A∴SC平面ANM

11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可 证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=

CDAE

又CDAD

CD平面PADCD//ABMNAB

PA平面AC

AE平面PADAE//MN

2a∴PD=

a在ΔABC中AD=

AB2BD2

=

222

a∵AD+PD=aa22

=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC 12.如图，直角BAC在证：如图所示，AABAC为射影

AA//BB

AB

面AACAAAB

AB13 以ABAB

ABAB//AB

ABAAAB//

直。

解：

PABCAB面AEF

第五篇：线面平行的证明中的找线技巧

线面平行的证明中的找线技巧

1.已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a∥平面，a∥平面，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d平面，c平面，∴c∥平面，又c平面，平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//A平面BCD． 证明：连结BD，在ABD中，∵E,F分别是AB,AD的中点，∴EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF//平面BCD．

3、已知：空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD。

B

证明：连结BD，在△ABD中，∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴ EF∥BD

B正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.又 EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF∥平面BCD（直线和平面平行判定定理）

A

F

D

C

证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

PEAE,QNDC



BQBD

.∴

PMAB



QNDC

.∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.∵AD∥BC,∴

DQQB



AQQK

.又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，∴

AQQK

APPE

.则PQ∥EK.∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 已知：如图9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求证：a∥b.证法一：过直线a作两个平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d面α2,c面α2.∴c∥面α2.又∵c面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，则k∥l∥a.∵三个平面α

1、α

2、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α1，l2面α2，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b面α，则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ..证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D

四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得 B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.//

S72S。

证明：

GDGHGAC//BD

EACFBD

HEHAHAE//BF



ACBD

GAGB

9

21AE∥BF



BFAE

HBHA

1628

AC∥BD

SAECSBFD



212

ACAEsinA



BFBDsinB

37374

4∴ SBFD96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

CM

QM

BN

NPEF

AC



ABBF

NPMQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN



MN//面BCE

PQ面BCE

PE

CF

FA求证：EF//面PCD

CF

HFFB

MN//PQ

10.P为ABCD所在平面外一点，EPB，FAC，且EB

.证：连BF交CD于H，连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA

PE

CFFA

HFFB



在BPH中EB

EF//PH





EF面PCDPHPCD∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求证：a、b、c证明：∵α∩β＝a，β∩∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.12如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

AEB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

BHBA

∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为

nm

(m+p)2平方单位.13如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.（本题证明请读者自己完成，本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.）