第一篇：证明线面平行
证明线面平行
一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内
二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外
三，证明线面无交点
四，反证法(线与面相交，再推翻)
五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面
线面平行
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
【平面与直线平行的性质】
定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。
注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
所以，MN//平面ACD
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
所以，MN//平面ACD
第二篇：线面平行证明
线面平行证明“三板斧”
第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面
内找到与已知直线的平行线。
例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。
练习：
如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD
第二斧：以平面外的直线作平行四边形
D
例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC
1练习：
如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：
A1E//平面B1CF
第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。
例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG
练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：
AC1//平面AB1D
B
C
总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。
1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN//平面PAD．
2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P
E
C
A
B
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；
AA
D
C
B1
C1
4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A
7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是
A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b
C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()
A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条
10.如图所示：设P
上的点，AMDN且MBNP
11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．
（３）求证：EF//平面BB1D1D．
第三篇：线面平行证明“三板斧”
线面平行证明“三板斧”
线面平行是高考的重点，也是平行关系中的核心。在证明线面平行的过程中，如何快速的找到证明的思路，此文的目的就在于此。将证明的过程程序化，可以帮助学生形成良好的思维习惯，也可以引导学生学会去总结。
第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面内找到与已知直线的平行线。
例１：如图正方体ABCDA1BCＥ为11D1中，DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。
招式讲解：三点确定一个平面，已知直线只需再有一点即可确定一个BD1已有二点，平面。为了更直观的找到两平面的交线，选择第三点时有技巧可寻。平面AEC将空间分为两个部分，第三点可选在与线段BD1的另一侧，本题中即Ｄ点。三点组成的三角形，除BD1的另两边BD，则两交点形成的直线与BD1平DD1必然与平面AEC相交，行。在实际证明过程中，两交点在题中的位置越特殊，越有可能为正确的辅助线。
证明展示 证明：连结BD与ＡＣ交于点Ｏ，连结OE
Ｅ、Ｏ分别为DD1、BD中点
OE//BD
1又OE平面AEC，BD1平面AEC
BD1//平面AEC
招式点评
优点：招式简洁，证明过程简易。
缺点：与平面的交点若不是特殊点，会出现能找出平行线，但难于证明的情况。再有就是平面的另一面可能在题目中难以找到第三点。实战试招１：
如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：
PA//平面BFD
D
第二斧：以平面外的直线作平行四边形
例2：如图，正方体ABCDA1BCE为A1B111D1，上任意一点，求证：AE//平面DC1
招式讲解：通过平行四边行找平行线是高中
立体几何中的常见手段。若能够找到平行四
边行的相邻两边，则就能作出平行四边形。
本题中AE可做为平行四边形的一边，则另一
边可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考虑到可在题目中较为容易的画平形
四边形则只有EB1和AD。这时，可以发现以AE,AD两边所作的平行四边形为本题所要的。
证明展示
证明：过E点作AD的平行线，交C1D1与F点，连结DF
EF//A1D1，A1E//D1F
四边形A1EFD1为平行四边形 EFA1D1
EF//AD且EFAD
四边形ADFE为平行四边行
AE//DF又AE平面DC1,DF平面DC1
AE//平面DC1
招式点评
优点：招式本身的关键在于平行四边行，同学们比较熟悉，因此接受起来比较快。
缺点：找平行四边形的思维过程中可能的情况比较多，要一个一个去排除，需要一定的逻辑思维能力。再有，招式本身不能解决所有题目要注意变招。
实战试招
2如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：A1E//平面BCF 1
第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。
例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD
为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG 招式讲解： 面面平行到线面平行的方法中，寻找与平面EFG平行的平面是解题的关键，而寻找平行平面遵循一定的方法其实是很容易找到的。两条相交直线可以确定一个平面，已知直线PA可以看作是一条，我们只需要找EF,EG,FG中三条边中任何一条线的平行线即可。但所找的平行线还需满足一个条件，与已知直线PA相交。题目中，EF与FG的平行线都很容易找到，比如我们找到满足要求的EF的平行线AB，则PA与AB所组成的平面PAB就是我们所要找到平面。接下来我们的任务就是证明平面PAB//平面EFG。
证明展示
证明：E,F分别为PC与PD中点
EF//DC,又DC//AB
EF//AB,又EF平面EFG,AB平面EFG
AB//平面EFG
E,G分别为PC,BC中点
PB//EG,又EG平面EFG,PB平面EFG
PB//平面EFG
又ABPBB
平面PAB//平面EFG PA平面PAB
PA//平面EFG
招式点评
优点:与前二斧而言使用范围最广的招式,套路式的方法很容易找到证明的思路。大部分的题目都可以使用这招得到解决，只不过是证明过程的长度有所不同而已。
缺点：由于证明面面平行，必须先证两个线面平行，所以不论题目难易过程都较长。步骤多，要写好要下一番功夫。
实战试招
3如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：AC1//平面AB1D
总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。
另：对于考试中的另一重点，垂直关系就很难总结为平行中一样固定的模式，但解题时也有一定规律可寻，详情在另一文中讲述。
地址:广东省中山市小榄镇小榄中学 姓名:刘晓聪
邮箱:stephenlao@163.com QQ:148049846
第四篇：线面平行证明经典练习题
1、在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，点E是 PD的中点。求证：PB//平面 AEC
E
B
D C2、在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点。求证：MN//平面PAD
D
B3、在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是 AC的中点。
求证：AB1//平面DBC1 C'A'
A4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点。
求证：C1O//平面AD1B15、已知ABC-A1B1C1是底面为正三角形的棱柱，D是
AC的中点。求证：AB1//平面DBC
1C
B16、正四棱锥SABCD中，E是侧棱SC的中点。
求证：直线SA//平面BDE
C
A7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点． 求证：AF//平面PEC
P
C
A8、ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。
求证：BD1//平面C1DE
9.在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点.求证：A1B//平面ADC1；
C1 B1 A
B
第五篇：证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
线面平行重点难点剖析
线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一，它包括直线与直线的平行，直线与平面的平行以及平面与平面的平行.本节复习包括首先要系统梳理有关判断、证明线面平行关系的各种依据，其中既包括有关定义、公理，还包括相应的判定定理或性质定理.梳理中不仅要明确有关判断、证明各有哪些依据，还要体会不同的依据在思维策略上给我们的指导.例如判断线面平行可有三种思维策略：
(1)从概念考虑，即依据线面平行的定义作思考，这就需要证明直线和平面没有公共点.证明方法通常选择反证法.(2)从降级角度考虑，即通过证明线线平行来证明线面平行.其依据为：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.证明方法通常是把平面外的这条直线经过平移，移到这个平面中去.(3)从升级角度考虑，即通过证明面面平行来证明线面平行.其依据为：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.证明方法是找出一个与这个平面平行的平面，并且使这条直线正好在所找的平面内.其中思维策略的选择不仅要注意建立这种意识，还要根据不同问题的不同条件，才能作出恰当的选择.在复习中应注意积累这种思考、选择的经验.2题目如图1,已知四边形ABCD,ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN∥平面EBC.一、找“线线平行”思考1如图2,过M作MH∥EF交BE于H,则MHEF=BBMF.过N作NG∥AB交BC于G,则NGAB=CANC.由于四边形ABCD,ABEF为两个全等正方形,则BF=AC,EF=AB,又因为FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四边形MHGN为平行四边形,所以MN∥平面EBC.思考2如图3,连结AM并延长交BE于K,则CK在平面EBC内.由题意,知△AFM∽△BKM,则AMMK=BFMM,因为FM=AN,BF=AC,则FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,则MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面内找一条直线与平面外直线平行,通常有两种方法可找:①构造平行四边形;②构造三角形,利用对应边成比例.二、找“面面平行”思考3如图4,过M作MH∥BE,交AB于H,连结NH,则BMBF=BBHA.由于四边形ABCD,ABEF为全等的的正方形,又因为FM=AN,则有BMBF=CCNA,所以在3
线面的我已经给你了
我来补充线线的1.垂直于同一平面的两条直线平行
2.平行于同一直线的两条直线平行
3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行
4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行
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