立体几何线面平行问题

第一篇：立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

E

第二篇：立体几何三视图及线面平行经典练习

立体几何三视图

例

1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如图1，△ ABC为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC且3AA=

（）

例

4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.2

B.4

3BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是

2C.2

练习

D.4 3

3正(主)视

侧(左)视图

俯视图

1.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A．

234B．2C．D．

433

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何 体的体积为 ．．



B． 42

C．D．

2A．

侧视图

3.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为

.．．．

2正视图

2侧视图

正视图

侧视图

俯视图

俯视图

4.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A.C.空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线的位置关系

判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。·异面直线所成角不大于90度!空间中直线与平面之间的位置关系

·直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。平面与平面之间的位置关系

·平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行 2 直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。平面与平面平行的判定

定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行直线与平面平行的性质

定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。

（·作用：证明线线平行 ·做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

补充：证明线线平行的方法： 1.平行的传递性

2.线面平行的性质定理（·关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.b

α

C.b与α相交D.以上都有可能

3． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空间中，下列命题正确的是()． A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β．β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β，的是（）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()． A．平行C．异面

B．相交 D．平行或异面

9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//bC．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a 10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命题中，假命题的是A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βB.若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ不在平面内，给出六个命题：

a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c④

为三个不重合的平面，直线均

∥c

∥∥

a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.16.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面

PCE.

第三篇：关于线面平行问题的探讨

关于线面平行问题的探讨

刘玉扬中市第二高级中学 中学二级教师

摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考 线面平行 立体几何

正文

直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题

型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见

题型。本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往

年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E，F，G，H分别是空间四边

形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

（1）四点E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要证明E,F,G,H四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH和FG平行，或者直线EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，从而根据线面平行的判定定理证明。解：（1）E,F分别为AB，BC的中点，EF//AC

同理HG//AC，从而EF//HG

所以，直线EF和直线HG可以确定一个平面，E直线EF，直线EF，E。同理，F,G,H

故E,F,G,H四点共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又EF面EFGH，AC面EFGH，AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E，F，G，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，的中点，试在边DA上找一点H，使得四点E,F,G,H共面，并讨论当BD和AC满足什么关系时，四边形EFGH为菱形、正方形？

分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线，从而EF//HG，从而易知四边形EFGH为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解：E,F分别为边AB，BC的中点，EF//AC

又EF面ACD，AC平面ACD

EF//面ACD

E,F,G,H四点共面，即平面EFGH平面ACDHG

从而，EF//HG，故HG//AC，所以，H为边DA的中点。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四边形EFGH为平行四2

211边形。当EFFG，即ACBD，也即ACBD时，四边形EFGH为菱形；22

当ACBD时，有EFFG，从而，当ACBD且ACBD时，四边形EFGH易得，EF//为正方形。

【探究二】如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化，改为：在空间四面体ABCD

G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，中，且满足E，F，AEAHCFCG，EBHDFBGD

结论还成立吗？

分析：要证明四点共线以及线面平行，只要找到线线平行就可

以了。例1中，遇到中点经常联系到中位线得到平行，其实，得到

平行的方法还有很多，思维不能定势，在做立体几何题目的时候要

注意思维的灵活性，抓住线面平行判定的常用方法，找准线线平行

就可以了。

牛刀小试：[2011·北京卷改]如图，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE//平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

解：(1)证明：D，E分别为AP，AC的中点，DE//PC

又DE平面BCP，PC平面BCP



DE//平面BCP

(2)点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

DE//PC//FG，DG//AB//EF

四边形DEFG为平行四边形．

又PCAB，DEDG，从而平行四边形DEFG为矩形．

点评：证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中，常见的是运用判定定理来证明，这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难，下面我们再分析一下，一般情况下如何找平行线。

【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是B1C，BD的中点，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法，因为M，N分别是B1C，BD的中点，容易联想到中位线，连结AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以将点C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本题还可以取BC的中点G，通过证明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：连结AB1和AC，因为M，N分别是B1C，BD的中点，故MN//AB1，又MN平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：将中点弱化为线段上的点，并没有改变由线线平行得到线面平行的本质，只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法，本题非常简单，但是不用这个方法，怎么找出交线呢？显然，CN必和AB相交，设交点为E，CMA1B1B1，从而，B1E可看做是

MN//平面AA过MN的平面CMN与平面AA1B1B成立，根据线面平1B1B的交线，若结论

行的性质定理，必有MN//B1E，也就是说，只要我们能够证明MN//B1E，就可以证明最终的结论了。而要证明MN//B1E，根据已知条件，结合正方体的特点，证明并不难。

证明：如图，延长CN交直线AB于点E，连结B1E。CMDN，

而CMDN，MB1NBDNCNCMCN，从而，即有MN//B1E，又MN平面AA1B1B，NBNEMB1NE

B1E平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

点评：本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中，但是，实际解决问题时，我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中，适当改变

相应的条件。

【探究二】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为

菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如图，MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线，若PA//平面MQB，PMANANAQ1PCACANNCAQBC3。则有PA//MN，从而

解：连结AC交BQ于点N，则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN，若

PMAN，PA//平面MQB，由线面平行的性质定理，知PA//MN。从而，tPCAC

ANAQ1ANAN11，所以，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACANNC12

31t。3t

点评：解决这类探究性的命题，其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难，只要能够抓住条件，如本题，充分运用线面平行的判定、性质定理，化难为易。

牛刀小试：如图，平面内两个正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB，沿AB折成直二面角。（1）证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC2:3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE？若存在，试确定点G的位置。

分析：这是一类创新的题型——折叠问题，要能够把握折叠前后的不变量，问题就可以

迎刃而解。解决第二问时，只要根据面面平行的判定定理，由第一问的结论，再在面ABCD内过M点作AB的垂线，垂足即为点G。对于第一问，既可以通过面面平行来证，也可以在平面CBE内找一条直线与MN平行即可，还是可以利用线面平行的性质定理，延长AN交BE于点H，则直线CH为过MN的平面AMN与平面CBE的交线，则只要证明MN//CH即可，与例2的“探究二”类似。

解：（1）延长AN交BE于点H，则由AF//BE知，所以ANFNFNAM，而，NHNBNBMCAMAN，从而MN//CH。又因为MN平面CBE，CN平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC平面MNGMG，AGAM2。平面ABC平面CBECB知MG//BC，从而，GBMC3

【小结】本文通过两个例题，对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析，并根据例题进一步展开，探讨一般情况下如何找线线平行，进而根据判定定理来证明线面平行，当然，线面平行大体上有三种证法，由于篇幅限制，本文主要对判定定理进行了

拓展，希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

参考文献：

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）

[2]崔君强.好记好用得“光照法”证明线面平行[N].中学生数学.2011-6月上（419）

[3]张心诚.不同背景下的同一类线面平行问题[N].中学生数理化.2008（10）

第四篇：立体几何中线面平行垂直性质判定2012

2012考前集训高频考点立体几何考纲解读

必须掌握空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理

判定定理

1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b,a//b,则a//.2.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b,abp,a//,b//,则//.3.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.即若m,n,mnB,lm,ln,则l.4.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l,则.性质定理

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a//,a,b,则a//b.2.两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a//b

3.垂直于同一平面的两直线平行，即若a,b,则a//b

4.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若，a,l,la,则l.必须掌握常见几何体的表面积及体积公式：

V柱体Sh(S为底面积,h为柱体高)

V锥体V台体

V球体1Sh(S为底面积,h为柱体高)31(S'S'SS)h(S',S分别为上,下底面积,h为台体高)34R3(R为球体半径)

31.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证

EFG∽ABC, 所以

FGEF111,即FGBC,即FGAD,又M为

AD BCAB222-1-的中点,所以AM1AD,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故

2GM∥FA,又因为ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．求证：PB1∥平面BDA1；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．

解：连结AB1与BA1交于点O，连结OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积

D

C

分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能

力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.，因为ABAD,CE//AB,所以CEAD.又PAADA,所以CE平面PAD。

（II）由（I）可知CEAD，在RtECD中，DE=CDcos451,CECDsin451,又因为ABCE1,AB//CE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCDS矩形ADCESECDABAE

又PA平面ABCD，PA=1，所以V四边形PABCDP115CEDE1211.2221155S四边形ABCDPA1.3326

4.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16题图)

答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，EFPD,又PD面PCD,EF面PCD

直线EF//平面PCD

（2）连接BDAB=AD,BAD=60,ABD为正三角形

F是AD的中点，BFAD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD面ABCD＝AD,BF面PAD,BF面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而，△DCQ的面积为

所以棱锥P—DCQ的体积为V213a.32，213a.3

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四边形，6．山东文如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面

AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．

（I）证法一：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD，又因为AB=2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得

BD2AD2AB22ADABcos603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD，又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1平面ADD1A1，故AA1BD.1.又AA

证法二：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D.，取AB的中点G，连接DG，在ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又BAD60，所以ADG为等边三角形。

因此GD=GB，故DBGGDB，又AGD60，所以GDB=30,故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BDAD.又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.（II）连接AC，A1C1，设ACBDE，连接EA1

因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC1AC.2

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以边四形A1ECC1为平行四边形，因此CC1//EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，平面BDC.

111SDAMS

DBCSDCA11,S

ABCsin60 2222

13S3 ∴三棱锥D

—ＡＢＣ的表面积是222

8.在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD。若AD，ABBC，求四面体ABCD的体积；

解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC； AB故四面体ABCD的体积

1114VSABCDF.3325

9.如图，在四面体的体积;中，平面平面，,.求四面体

解法一：如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG2A

C

B11AGCD由ACDFCDAG得DF22AC由

RtABC中,ABSABC1ABBC 2故四面体ABCD的体积V

1SABCDF

38-5-

第五篇：高中立体几何中线面平行的常见方法

高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。

（3）利用平行四边形的性质。

（4）利用对应线段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC

是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

F

A

1D

A4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC

//

AD，BE

2//

AF，G,H分别为FA,FD的中点 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.2求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

BC

2BC 2

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AM

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

AMBN

=，SMND13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行



14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFB