专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直汇总

第一篇：专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直汇总

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

二、练习题

第二篇：线面垂直面面垂直专题练习

线面垂直专题练习

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

aMa//baMa//M①②③b∥M④M.bMa//bb⊥abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第2题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

4有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.35.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

6.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.7.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

A1C1C9、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BA

C10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问

△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举

出反例．

BA C

第三篇：线面垂直面面垂直及二面角专题练习

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//baMaMa//Mb∥M④bM②a//b③b⊥M.abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.36.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于

2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.二、解答题：

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

BA

C

二面角练习1210

1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.52B.C.D.632

32.边长为a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，这时二

2面角B－AD－C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折起，若折起后的三角形ABC为等边三角形，则二面角C－AD－B的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别 是AC、AD、CA的中点。求证：平面BEF

^平面BEG。

性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定义法：在棱上取点，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求证：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；

（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求证：平面PAB^平面APA^BC。PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C

第四篇：线面垂直与面面垂直垂直练习题

2012级综合和高中练习题

2.3线面垂直和面面垂直

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//baMaMa//M②③b∥M④bMa//bb⊥M.abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.12.已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1.面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理：面面垂直的性质定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于

2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

C1

C

A

B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

A

C

B

第五篇：线面、面面垂直性质测试题

线面、面面垂直性质练习试题

一、选择题

1在空间，如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角的关系是()

A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定

2下列命题正确的是…………………………………………()

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

3.知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．

A．（1）、（2）B．（2）、（3）C．（3）、（4）D．（2）、（4）

4.列图形中，满足唯一性的是（）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线

5.平面α、β与另一平面所成的角相等，则()

A.α∥βB.α与β相交C.α∥β或α与β相交D.以上都不对

6.个平面,,，之间有，，则与（）(B)平行(C)相交(D)以上三种可能都有(A)垂直

7.，是两个平面，直线l，l，设（1）l，（2）l//，（3），若

以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是（）(A)0(B)1(C)2(D)

38.一点的三条直线两两垂直,则它们确定的平面互相垂直的对数有(D).A.0B.1C.2D.3

9.线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：

①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.310.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是……………………………………()

A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC

11.四个命题：①若直线a//平面，则内任何直线都与a平行；

②若直线a平面，则内任何直线都与a垂直；

③若平面//平面，则内任何直线都与平行；

④若平面平面，则内任何直线都与垂直．其中正确的两个命题是()Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④

12.如图、—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是…()

A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

二、解答题

13.已知平面α⊥平面β，交线为BC，P∈α，A∈β，且AC⊥BC，AC＝6cm, BC＝8cm,PA＝PB＝7cm.求点P到平面β的距离.14.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝

a，F、G分别为EB和AB的中点。

（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求证：AF⊥BD；

15.如图，（1）求证：（2）求证：（3）若

矩形

平面，求证：

平面

所在平面，分别是

和的中点.17.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

18.如图,AB是圆O的直径, PA垂直于圆O所在的平面, C是圆周上不同于

A, B的任意一点,（1）求证:平面PAC⊥平面PBC

（2）若A在PB、PC上的射影分别为E、F，求证：EF⊥PB

19.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点(1)MN//平面PAD(2)PA=AD时,MN⊥平面PCD

AB,PD的中点，又二面角PCDB的大小为45，21.已知△

BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

22.如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将 沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD

求证：ABDE

CBD

23.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.（1）求证PQ∥平面CD D1 C1；（2）求证PQ⊥AD；（3）求线段PQ的长.