2012高一数学必修二立体几何的线面垂直[大全]

第一篇：2012高一数学必修二立体几何的线面垂直[大全]

2012必修二立体几何的线面垂直

1．如图，四面体ABCD中，AD平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BCCD． 求证：（1）EF//平面BCD（2）BC平面ACD．

2.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F PF求证：（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC；

（3）PC平面AEF．

BAEC3、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B-ACB1体积．

D

1A

D

C

B

C1

A1

B14、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O∥面AB1D

1DABBC1

面AB1D1．（2）AC1

C



5．如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；

P

A B

C

6.如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90，证明SC⊥BC

7.如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点． 求证：MN⊥AB．

8.如图：在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，（１）求证：BC⊥平面PAC；（２）求证：PB⊥平面AEF.PE

F

A

B

C2

9.如图：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中点，求证：BC⊥PM.P

A

B

第二篇：专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直汇总

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

二、练习题

第三篇：2013届高三数学专题——立体几何(二)线面平行与垂直

2013届高三数学专题——立体几何

（二）线面平行与垂直

一、定理内容（数学语言）

（1）证明线面平行

（2）证明面面平行

（3）证明线面垂直

（4）证明面面垂直

二、定理内容（文字语言与数学图形）

（1）证明线面平行：

（2）证明面面平行：

（3）证明线面垂直：

（4）证明面面垂直：

三、典型例题

1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，M、N 分别为PA、BC的中点，且PDAD．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD．

M

N

A

B

C

2．在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，ABBC，E、F分别是棱BC、PC 的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）证明：EFBC．

3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC．

F

P

A

E

B

C

BC1；（Ⅰ）若ABAC，求证：AC

1BC1，求证：ABAC．（Ⅱ）若AC1

B

4．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC．

C

B

5．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1,AC1平面A1BD，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅱ）求证：B1C1平面ABB1A1；

（Ⅲ）设E是CC1上一点，试确定E的位置使

平面A1BD平面BDE，并说明理由．

D

A

C

AB1

C1



6．三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC90，ABBCBB12，M,N分别是AB，AC1的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN平面A1B1C；

（Ⅲ）求三棱锥MA1B1C的体积．

B

M

A

CN

A1

B1

C1

四、练习

1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14．（Ⅰ）求证ACBC1；

（Ⅱ）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，试给出证明；

若不存在，请说明理由．

CC

1A1

B1

A

B

2．在三棱锥PABC中，PAC和

PBCAB2，O是AB中点.（Ⅰ）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

B

．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ABADCACBCDBD2．

（Ⅰ）求证：AO平面BCD；

（Ⅱ）在AC上是否存在点F，使AO∥面DEF？若存在，找出点F的位置；

若不存在，说明理由．

B

五、模拟试题与真题

1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1ADB1的体积．

2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的 中点，PAPDAD2．（Ⅰ）求证：AD平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使PA//平面MQB．

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ACIBD=O.（Ⅰ）若ACPD，求证：AC平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求证：PB=PD；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD?

PPM

若存在，求的值；若不存在，说明理由．



B

C

PC

B

A

O

C

4．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DABDBF60，且FAFC．

（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD．

5．四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，BCD60，PAPDE是BC中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：ADPB；（Ⅱ）若

6．已知菱形ABCD中，AB=4，BAD60（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）证明：AC1BD；

（Ⅲ）当EF

AB时，求线段AC1的长．



PQ

，当PA∥平面DEQ时，求的值． PPC

Q

CE

A

B

DC

1FM

A

图1

BAE

图2

B

7．如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为

AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE

沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2．（Ⅰ）求证：DE//平面A1CB；（Ⅱ）求证：A1FBE；

A1

DFC

图1

B

C

F

B

图2

E

⊥平面DEQ？（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使AC1

说明理由．

第四篇：高一数学线面垂直强化训练题目

1、线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足。

2、线面垂直的判定定理（注意：两条、相交）条直线与一个平面内的两条相交

直线都垂直，则该直线与平面垂直。

符号语言：b,c,bcPl lb,lc

3、线面垂直的方法：要证线面垂直，只需证线线垂直。

4、证明线线垂直的常见方法：

A、有题目条件给出线线垂直

B、由勾股定理计算得到垂直

C、由已知的线面垂直得到线线垂直

D、从已知条件中挖掘出垂直（例如，等腰三角线的中线垂直底边；长方体中的棱和底面垂直；菱形的对角线垂直；底边为直径，顶点在圆周的三角形的两边垂直------

5、证明线面垂直时候要注意的问题：

A、该做辅助线的要做出准确的辅助线

B、找准“两条相交直线”

C、题目没有给图的要根据题意画出标准的图形

一、选择题

1.给出下述命题，其中正确命题的个数为()

(1)和同一个平面平行的两直线互相平行；

(2)和同一个平面垂直的两直线互相平行；

(3)和同一个平面所成角相等的两直线互相平行；

(4)一条在平面内，另一条和这个平面平行，则这两条直线互相平行.A.0个B.1个C.2个D.3个

2.a与面α所成角为60°，bα，则a、b所成角的范围是()A.［0°，90°］B.［30°，90°］C.［60°，90°］D.［60°，120° ］

3.已知∠ABC=90°，BC∥平面α,AB与平面α斜交，那么∠ABC在平面α内的射影是

()

A.锐角B.直角C.锐角或直角D.锐角或直角或钝角

4.正六边形ABCDEF的边长是a，PA垂直于正六边形ABCDEF所在平面，且PA=a，则PE与AB所成 的角为()

A.45°B.60°C.90°D.以上都不对

5.已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，而直角边AB、AC分别与α成30°、45°角，则斜边上的高AD与平α所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.若平面α外的两条直线在α内的射影是同一条直线，则这条直线的位置关系是

()

A.异面B.平行C.相交D.相交或平行

7.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是()A.B.2C.3D.48.已知△ABC所在的平面α外一点P到△ABC各边的距离相等，O是P在△ABC内的射影，则O是△ABC的()

A.外心B.垂心C.内心D.重心

9.P

所在平面外一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD是()

A.正方形B.长方形C.有一个内切圆D.有一个外切圆

10.如果∠ABC=∠BPC=∠CPA=60°，则PA与面PBC所成角的余弦值为()

A.1263B.C.D.2263

3二、填空题

11.线段AB的两端点到平面α的距离分别是5cm和9cm，则线段的中点到α的距离是.12.∠BAC=90°且在平面α内，P在α外，PA=23，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，PE=PF=17，则P到平面α的距离为.13.AB∥平面α，AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，点C、D在平面α内，A1D=6，B1 C=4，AD+BC=22，则AB到平面α的距离是.14.AC与BD是空间四边形ABCD的两条对角线，若AB=AD，CB=CD，则AC与BD所成角的大小是.15.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上的一个动 点，则PM的最小值为.16.正三角形ABC边长为a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=90°，这时B到AC的距离 为.三、证明与计算

17.已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥BC,PB⊥AC,求证：PC⊥AB.18.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD⊥截面AB1C；

(2)求点B到截面AB1C的距离；

(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。

19.在平面α内有△ABC，在平面α外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC,且斜线SA、SB与平面α所成角相等。

(1)求证：AC=BC

(2)又设点S到α的距离为4cm,AC⊥BC且AB=6cm,求S与AB的距离。

20.已知：S为△ABC平面处一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC(如下左图)。

求证：AB⊥BC。

21.在棱锥V-ABC中，VA⊥VC，VB⊥VC(如上右图)。

(1)求证：VC⊥AB；

(2)若CD是底面△CAB边AB上的高，求证：VD⊥AB。

第五篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．