面面垂直学案

第一篇：面面垂直学案

§2.3.4平面与平面垂直的性质

一、学习目标：

1.掌握平面与平面垂直的性质定理的证明及应用；

2.掌握空间中的垂直关系相互转化的方法。

二、学习过程：

(一)复习引入

1.平面与平面垂直的定义：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？

（2）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一条直线垂直于平面ABCD？

（三）严格证明

已知,CD,AB,ABCD于B.求证:AB.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言表述：

（五）知识应用举例

例

1、已知平面α与β互相垂直，判断下列命题是否正确：

（1）若b,则b。

（2）若=l,bl则b。

（3）若b,则b垂直于平面内的无数条直线。

(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线

必垂直于另一个平面。

例

2、平面与平面互相垂直，m,P,Pm,判断：

（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？

（2）过点P且垂直于的直线l与是什么位置关系？并证明

例

3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，(1)求证：BC⊥平面PAC。(2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。

A

O B

练习：如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.C

解题反思：

（六）小结反思

1.面面垂直的性质定理

2..空间垂直关系有那些？如何实现空间垂直关系的相互转化？请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？

①

②

③

④

（七）家庭作业《同步导学》

第二篇：面面垂直导学案

平面与平面垂直课前预习案

【课前预习】

【预习目标】：（1）理解并掌握平面与平面垂直的概念

（2）掌握平面与平面垂直的判断定理和性质定理

一、复习回顾

（1）线面的位置关系有几种？

（2）直线与平面垂直的判定定理

（3）直线与平面垂直的性质定理

二、预习

预习课本P52---54页，解决以下问题：

1、平面与平面垂直是如何定义的？

2、如何判定平面与平面垂直？

生活中有哪些应用？请举出几例来说明。

3、平面与平面垂直的性质定理是什么，是如何推导的？

平面与平面垂直 课堂导学案

【学习目标】：

（1）理解并掌握面面垂直的概念（2）掌握面面垂直的判定定理和性质定理

【学习重点】：

空间中面面垂直的判定定理和性质定理

【学习难点】：

空间中面面垂直的判定定理、性质定理的推导过程。

【课堂探究】： 【探究一】

问题

1、观察并研究模型，两个平面何时互相垂直？（借助第三个平面）

E B

问题归纳：面面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相，就称这两个平面互相垂直． 面面垂直的画法、记法？

【探究二】

问题1：一平面及另一平面，借助的一条垂线，如何调动平面，就能使两面互相垂直？

问题2:教室的门转到任何位置时，门所在的平面是否与地面垂直？门在转动过程中，门轴是否始终与地面垂直？

问题归纳：面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条，则两个平面互相．

请用符号语言描述定理：（对照下图）证明分析：

B

E

D

强调：

面⊥面

实际应用：

问题3：建筑工人在砌墙时常用铅垂线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，为什么？

例题1.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图（2））．求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．

D

C C

(1)(2)

练习：已知AB⊥平面BCD，BC ⊥ CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

C

D

【探究三】

问题1：黑板面与地面垂直,能否在黑板上画一条与地面垂直的线？

问题归纳： 面面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，请用符号语言描述定理：证明过程：

D

B E

强调： 线⊥面

面⊥面

例题2： 已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．

αA

D

【课堂练习】：

一、判断：

1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（）

二、填空：

1.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.2.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.3.过平面α的一条平行线可作__ __个平面与α垂直.4.过平面α的一条与α相交但不垂直的线，可作__ __个平面与平面α垂直.【课堂小结】：请叙述一下本节课学过的主要内容，作一回顾总结：

（1）（2）（3）（4）

平面与平面垂直课后拓展案

【课后拓展】

1．在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中点． 求证：平面ABE⊥平面BCD．平面ABE⊥平面ACD．

E C

D2、三棱锥P—ABC中，PB=PC，AB=AC，点D为BC中点，AH⊥PD于H点，连BH，求证：平面ABH⊥平面PBC

B

C

第三篇：线面垂直 ,面面垂直导学案

1．2．3 空间中的垂直关系

第1课时 线面垂直预习案主备人：史红荣

【预习目标】

1．掌握直线与平面垂直的定义

2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．

【自主学习】

1．两条直线互相垂直

如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，且______________，则称这两条直线互相垂直．

2．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的____________________，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫________________，这个平面叫________________，交点叫________，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的__________，垂线段的长度叫这个点到平面的________．

3．直线与平面垂直的判定定理

定理：如果________________________________________________，则这条直线与这个平

面垂直．

4推论1__________________________________________

5推论2__________________________________________

【预习检测】

1．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是()

A．a⊥βB．a∥β

C．a⊂βD．a⊂β或a∥β

2．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()

A．4B．3C．2D．

13如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．

求证：CF⊥平面EAB．

【我思我疑】

2011级高效课堂数学（必修

2）导学案班级姓名

第1课时 线面垂直课案

【学习目标】

1．掌握直线与平面垂直的定义

2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．

【知识深化】1若已知线面垂直，则可知线和面内的线什么关系？线面垂直的判定定理实质是？其作用？

【典例分析】.如图，在三棱锥中，VAVC,ABBC，求证：VBAC.【巩固练习】见课本A.，B组

【达标练习】

1.直线l和平面内两条直线都垂直，则l与平面的位置关系是（）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能已知直线a,b和平面，下列错误的是（）.A.aabb

ababB.a//bbaC.∥或a D.a//ab∥b

3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．

求证：(1)CD⊥PD；

**(2)EF⊥平面PCD．

第2课时 面面垂直预习案

主备人：史红荣

【预习目标】

掌握两个平面垂直的定义、判定定理及性质定理，【自主学习】

1． 两平面垂直的定义：

2．面面垂直的判定定理：

3．面面垂直的性质定理：

【预习检测】

1．下列命题中正确的是()

A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β

C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β

D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β

2过两点与一个已知平面垂直的平面()

A．有且只有一个B．有无数个

C．有且只有一个或无数个D．可能不存在3.下列命题错误的是（）.A.内所有直线都垂直于

B.内一定存在直线平行于

C.不垂直内不存在直线垂直

D.不垂直内一定存在直线平行于

4,试着独立完成课本54页例

2【我思我疑】

第2课时 面面垂直课案

【学习目标】掌握两个平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能进行有关的证明．

【知识深化】1平面与平面垂直的性质定理是？这个定理实现了什么关系的转化

2分析例题如何证明面面垂直？

【典例分析】

例1 如图13-4，四棱锥P

ABCD的底面是个矩形，AB2,BC侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于底面ABCD.证明：侧面PAB侧面PBC；

【巩固练习】见课本A.，B组

【达标练习】

1设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()

①若m

∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

CE,EF，FEC90°，,CD,CDAB，2.如图13-7，求证：面EFD面DCE.

第四篇：面面垂直习题（模版）

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B

第五篇：如何证明面面垂直

如何证明面面垂直

设p是三角形ABC所在平面外的一点，p到A,B,C三点的距离相等,角BAC为直角，求证：平面pCB垂直平面ABC

过p作pQ⊥面ABC于Q，则Q为p在面ABC的投影，因为p到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面pCB上有线段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。