第71课面面垂直

第一篇：第71课面面垂直

高考直通车·2014届高考数学一轮复习备课手册

第71课面面垂直

一、考纲要求

理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能够运用两个定理证明简单的面面垂直问题．

二、基础知识回顾与梳理

回顾

1、二面角的有关概念

(1)二面角：一条直线和由这条直线出发的(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作于棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

注：二面角平面角的范围：

2、平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直．

符号表示:

(2)平面与平面垂直的性质

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内的直线垂直于另一个平面．

符号表示:

解析

·两个平面垂直的判定定理和性质定理分别由线面垂直推出面面垂直，以及由面面垂直推出线面垂直，因此在解决有关问题时，经常利用“线线垂直线面垂直面面垂直”这种转化思想．

·两平面垂直时，过第一个平面内任一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内．

1、平面平面，l，点P，点Ql，那么PQl是PQ的___________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

【教学建议】帮助学生复习面面垂直性质定理和简易逻辑相关知识．教学时，可以要求学生写出面面垂直性质定理的符号语言，强调书写应规范、到位．

2、已知平面平面，a，若al，则下列结论正确的是________．

①l必与,中的一个垂直②l不可能与,中的一个垂直

③l同时与,垂直④l不可能同时与,垂直

【教学建议】本题是在第一题基础上的加深，主要帮助学生理解面面垂直性质定理中的关键条件，训练学生思维的完备性．教学时，可以结合图形说明上述各选项的对错，并再次强调性质定理书写的规范．

3、对于直线m,n和平面,,的一个充分条件是________．

①mn,m//,n//②mn,m,n

③m//n,n,m④m//n,m,n

【教学建议】通过填空题的形式帮助学生理解面面垂直判定定理的概念和简易逻辑相关知识．教学时，让学生简述理由，对于正确的选项，可以结合面面垂直判定定理，强调定理的书写规范；对于不正确的选项，可以让学生举出反例，或若由此条件应得到怎样的结论．

4、ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有________对．

【教学建议】通过常见图形的研究，复习面面垂直的判定定理．帮助学生加深理解一些常见几何体中面面垂直的结论．

三、诊断练习

1、教学处理：课上由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的解题思路及主要错误．教学时，对题１，题４点评要充分，对于学生不正确的解答要求其举出反例，最好能够画出相应的图形，使教学言而有物．

2、诊断练习点评

题1、已知m,n是两条不同的直线，,为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m,n,mn，则；②若m//,n//,mn，则//

③若m,n//,mn，则//；④若m,n//,//，则mn

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）___________．

【分析与点评】直接根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性质定理加以判断．对于命题②③，要求学生举出反例；对于命题①④，可要求学生画出图形，简述证明．

【交流】要求学生根据立体几何的公理、定理、性质，列举类似命题，并交

流讨论．

题2、如图，四棱锥P—ABCD中，PA底面ABCD，底面各边相等，M是

PC上的一点，当点M满足_______________时，平面MBD⊥平面PCD。【分析与点评】BM⊥PC。根据线面垂直，面面垂直的判定定理可得结果．让D 学生体会数学图形的对称美。

题3、设,是空间两个平面，m,n是平面,外的两条不同的直线，从 C ①mn；②；③n；④m中选取三个作为条件，余下的一

个作为结论，写出一个你认为正确的命题：（用序号表示）．

【分析与点评】①③④②或②③④①。因为当n,m时，平面及所成的二面角与直线m,n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由①③④②；同理若，则mn，从而由②③④①。

本题要求学生能熟练地将符号语言转化为数学语言，进而根据数学语言想象出空间图形，用所学过的知识得出答案。在研究垂直问题时，要注意应用“转化”的思想，充分利用线线、线面、面面垂直(平行)关系的转化，将一个个空间问题化归到平面内去，使问题获得解决。

题

4、对直线l,m与平面,,满足l,l//,m和m,下列命题必定正确的是___________．

①且m//;②且lm;③m//且lm;④//且.【分析与点评】直接根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性质定理加以判断，可得只有②正确．复习线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性质定理．题给条件中线面元素较多，要求学生根据符号语言绘制出相应的图形，然后进行判断．

【交流】一是直线与平面平行，直线作任意平移（只要不在平面内）都与该平面平行，在经过这条直线与平面平行的平面内作任意旋转也与原平面平行；二是直线与平面垂直，直线作任意平移仍然与平面垂直，偏转后不能与平面垂直．

四、范例导析

例

1、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1ACCC1上E分别是棱BC，11,D，的点(点D 不同于点C),且ADDE，F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;

(2)直线A1F//平面ADE.【教学处理】指导学生结合图形认真审题，看看能得出哪些

垂直的关系，分析条件与结论的关系，建议多提问，让学

生主动发现问题，解决问题，教师延迟引导．

【启发与引导分析】

提问：

1、面面垂直的判定定理是什么？

2、在这两个平面中能否找到一条直线与另一个面垂直？

教师引导：

1、若在一个平面较难到一条直线与另一个面垂直，则可以在原

图中先寻找某个平面的其它位置的垂线，然后寻找另一个已知平

面内与该垂线平行的直线；

2、要证平面ADE平面BCC1B1,只要证平面ADE上的AD平面BCC1B1即可.它可由已知ABCA1B1C1是直三棱柱和ADDE证得.要证直线A1F//平面ADE,只要证A1F∥平面ADE上的AD即可.例2：在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC,ABC90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD．

(1)求证：PA平面ABCD；

（2）若平面PAB平面PCDl，问直线l能否与平面ABCD平行？

说明理由．

【教学处理】

第（1）问应让学生自行分析、解决，选择典型错误的学生上黑板板演，纠正并强调解题过程的规范性。第（2）问要求学生认真分析条件与结论，通过提问引导学生主动发现问题，解决问题。

【启发与引导分析】

方法一：

提问：

1、在原有图形中，平面PAB与平面PCD的交线l是否存在？

2、怎样作出平面PAB与平面PCD的交线l？

教师引导：

1、两点可以确定一条直线，原图中平面PAB与平面PCD已有一个公共点P，只需再找到另一个公共点，将其与点P连接，便可得到两平面的交线l。

2、在同一平面内找平面PAB与平面PCD内的线的交点。图中PAPDP，PBPC，只剩直线PAB与CD。故在平面ABCD中，延长AB与CD，它们的交点即为所求。

方法二：

提问：若不作出平面PAB与平面PCD的交线l，能否有其他方式解决此问题？

教师引导：

1、本题在没给出平面PAB与平面PCD的交线l，直接证出结论比较困难的情况下，可采用反证法。提问：反证法的步骤是怎样的？

教师引导：

1、假设直线l能与平面ABCD平行，过点P作一条平行于AB的直线，则这条直线就是平面PAB与平面PCD的交线l，且直线l//平面ABCD。

2、由线面平行的性质定理，我们不难得出l//AB，同理可得l//CD，则AB//CD。

这与原题中的四边形ABCD是梯形，AD//BC，这一条件矛盾。故假设不成立，原结论正确。

【点评】

1、本题主要考查立体几何中的线面平行、线面垂直等主要知识。

2、第（2）问中两平面的交线，是公理2的应用。通过探究空间线面关系，进一步培养学生观察、发现的能力、空间想象能力和推理论证能力。

例3：多面体ABCDE中，ABBCACAE1,CD2,AE面ABC,AE//CD．

（1）求证：AE//面BCD；

（2）求证：面BED面BCD．

【教学处理】

指导学生审题，标注条件，看看能得出哪些平行与垂直的关系，让学生先尝试分析思考，教师延迟引导。E E 【启发与引导分析】

第（1）问由学生处理，可由学生口述证明过程，或让学生板演。

第（2）问，C C 提问：

1、证明面面垂直方法是什么？A A2、在这两个平面中，能否在其中一个平面内找一条直线与 图一 图二 另一个面垂直？

教师引导：

1、欲证平面⊥平面，可在内找一直线垂直于(也可在内找一直线垂直于)，若都找不出，可在内任找一条垂直于的直线l，然后在内找一直线平行于l即可

2、因为ABC是等边三角形，因此取某边中点、作中线。（在等边三角形中作中线是常用的辅助线做法。）容易得到AF平面BCD。于是原题转化为在平面BED内找一条直线与直线AF平行，即证线面平行。

3、要在平面BED内找一条直线与直线AF平行，实际上就是将直线AF平移到平面BED内。从图中容易看出点A平移到了点E，所以不难得出点F平移到了BD的中点G。

【点评】

1、在证明面面垂直的过程中，教师要引导学生，在图中已有的线中寻找“线面垂直”中的线，如找不到，可以先在平面内先找一条线与已知平面垂直，再将其平移到欲证平面内。

2、根据条件仔细观察所给平面的特点，充分利用等腰、等边三角形特殊性。作三角形某边中线是常用的辅助线做法。

五、解题反思

1、对立体几何中线面垂直（平行）、面面垂直（平行）的判定定理、性质定理的内容要深刻理解，条件、结论要清楚。熟练地用符号语言叙述定理，能绘制出对应的图形。

2、处理面面垂直本质是由面面垂直线面垂直线线垂直化归下去，将复杂的立体几何问题转化为平面几何问题，即所谓的“降维”。

3、证明面面垂直的过程就是找垂线的过程。一般是先从一个平面内现有的直线中寻找另一个平面的垂线，若平面中这样的直线不存在，则可以先在原几何体中找平面的垂线，再证此垂线和另一个平面平行．当然也可以选两面中的一面作它们交线的垂线，选哪个平面，应根据条件决定。题中等腰、等边三角形、矩形、菱形等都可以和垂直建立联系，应注意挖掘。

第二篇：面面垂直习题（模版）

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B

第三篇：如何证明面面垂直

如何证明面面垂直

设p是三角形ABC所在平面外的一点，p到A,B,C三点的距离相等,角BAC为直角，求证：平面pCB垂直平面ABC

过p作pQ⊥面ABC于Q，则Q为p在面ABC的投影，因为p到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面pCB上有线段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

第四篇：怎么证明面面垂直

怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0 2斜率 两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

第五篇：面面垂直学案

§2.3.4平面与平面垂直的性质

一、学习目标：

1.掌握平面与平面垂直的性质定理的证明及应用；

2.掌握空间中的垂直关系相互转化的方法。

二、学习过程：

(一)复习引入

1.平面与平面垂直的定义：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？

（2）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一条直线垂直于平面ABCD？

（三）严格证明

已知,CD,AB,ABCD于B.求证:AB.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言表述：

（五）知识应用举例

例

1、已知平面α与β互相垂直，判断下列命题是否正确：

（1）若b,则b。

（2）若=l,bl则b。

（3）若b,则b垂直于平面内的无数条直线。

(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线

必垂直于另一个平面。

例

2、平面与平面互相垂直，m,P,Pm,判断：

（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？

（2）过点P且垂直于的直线l与是什么位置关系？并证明

例

3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，(1)求证：BC⊥平面PAC。(2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。

A

O B

练习：如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.C

解题反思：

（六）小结反思

1.面面垂直的性质定理

2..空间垂直关系有那些？如何实现空间垂直关系的相互转化？请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？

①

②

③

④

（七）家庭作业《同步导学》