线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

第一篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案

1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．（1）求证：AB⊥BC；

3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

(第1题)

（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

4.如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C A B，7.如图所示，直三棱柱侧棱，侧面

中，∠ACB=90°，AC=1，的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

9.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。

12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC a, 13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

15.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

16.如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD

平面MBD 于点O，求证：AO1

答案与提示：

1.证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，∴BC⊥AD．

2.【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

3.【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF ∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD． 12CD又AE

12CD，（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPF而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC，设

22AD=2，∴PF=2，PC=PDCD8423，26623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2

34.【证明

】

取

SA的中

点

E，连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC, ∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E, ∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE 5.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

A1C平面BC1D同理可证ACBC11

BDA1C

7.证明：如右图，连接

∵、，∴、，则

.为等腰三角形...为直角三角形，D为.，∴

.又知D为其底边

∵

又，∴ 的中点，∴，∴.∵，的中点，∴

又

∵ ⊥平面BDM.、.即CD⊥DM.为平面BDM内两条相交直线，∴ CD 8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB． 又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴C． D

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E

直角△BPC中，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，在△PEA中，∴，，，平面ABC⊥平面BPC.10.证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴DEC90，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，∴BC⊥DE．又ECBCC，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，(第10题)

5又OE＝1，所以，tanEFO＝．

11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=

a, 又AD=

=

a, ∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD=

, ∴AE= ,同理,CE=

.在△AEC

中，AE=EC=

∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD 14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，,AC=a，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．

∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

15.证明：

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

16.证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1．

设正方体棱长为a，则AO23a2，MO2324a21．

在Rt△AC11M中，A29221M4a．∵AO1MO2A1M2，A1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

∴

第二篇：线面 线线面面平行垂直方法总结

所有权归张志涛所有

线线平行

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）

2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行

3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.5.平行线分线段成比例定理的逆定理

线面平行

1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。）

2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点

5.反证法（线与面相交，再推翻）

6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行

8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.面面平行

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）

6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.线线垂直

1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这

所有权归张志涛所有

条直线垂直于斜线。

线面垂直

1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直

1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质

主要性质

1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）

1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）

直线在平面内判定方法

1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.4.【性质】X3及垂直关系性质

5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.直线在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.2.【性质】X5、X7及垂直关系性质

主要性质

3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.所有权归张志涛所有

【性质】

1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质

2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）

第三篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定 经典试题

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，2、如图，棱柱

PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：平面AB1C平面A1BC

1；

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将 

CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD

求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16题图)

第四篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

清新县滨江中学2012届高三文科数学第一轮复习资料2011-12-

31空间中的垂直关系

1．判断线线垂直的方法：所成的角是，两直线垂直；

垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

PO,O推理模式： PAAaAO。

a,aAP

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都，我们就说直线l和平面αl叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：。

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

课后练习

1、（2008上海，13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1 和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l与BD1 相交D．不确定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.2、如图，棱柱ABCA1B1C1BCC1B1的侧面是菱形，B1CA1B

证明：平面AB1C平面A1BC13、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证

明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将

沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4题

图)

CBD

5．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论

第五篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定_经典试题 2

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，2、如图，棱柱 PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，B1CA1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：平面AB1C平面A1BC

1；

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四

边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A

C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V

D C

B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将



CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16题图)

空间线面角的求法

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD

1所成角的余弦值为

（A）

2（B（C）（D 3

32.已知三棱锥S

ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

（A）

3(B)(C)(D)444

4A3.如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的14.如图，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=2BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余

弦值.A

C

5.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA

＝AC＝AB，2N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB、BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

6.如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积．

7..如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB；

(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；

(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；(3)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？