线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质[五篇模版]

第一篇：线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

第二篇：线面 线线面面平行垂直方法总结

所有权归张志涛所有

线线平行

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）

2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行

3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.5.平行线分线段成比例定理的逆定理

线面平行

1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。）

2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点

5.反证法（线与面相交，再推翻）

6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行

8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.面面平行

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）

6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.线线垂直

1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这

所有权归张志涛所有

条直线垂直于斜线。

线面垂直

1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直

1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质

主要性质

1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）

1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）

直线在平面内判定方法

1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.4.【性质】X3及垂直关系性质

5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.直线在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.2.【性质】X5、X7及垂直关系性质

主要性质

3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.所有权归张志涛所有

【性质】

1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质

2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）

第三篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

第四篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

清新县滨江中学2012届高三文科数学第一轮复习资料2011-12-

31空间中的垂直关系

1．判断线线垂直的方法：所成的角是，两直线垂直；

垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

PO,O推理模式： PAAaAO。

a,aAP

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都，我们就说直线l和平面αl叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：。

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

课后练习

1、（2008上海，13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1 和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l与BD1 相交D．不确定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.2、如图，棱柱ABCA1B1C1BCC1B1的侧面是菱形，B1CA1B

证明：平面AB1C平面A1BC13、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证

明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将

沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4题

图)

CBD

5．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论

第五篇：立体几何中线面平行垂直性质判定2012

2012考前集训高频考点立体几何考纲解读

必须掌握空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理

判定定理

1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b,a//b,则a//.2.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b,abp,a//,b//,则//.3.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.即若m,n,mnB,lm,ln,则l.4.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l,则.性质定理

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a//,a,b,则a//b.2.两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a//b

3.垂直于同一平面的两直线平行，即若a,b,则a//b

4.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若，a,l,la,则l.必须掌握常见几何体的表面积及体积公式：

V柱体Sh(S为底面积,h为柱体高)

V锥体V台体

V球体1Sh(S为底面积,h为柱体高)31(S'S'SS)h(S',S分别为上,下底面积,h为台体高)34R3(R为球体半径)

31.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证

EFG∽ABC, 所以

FGEF111,即FGBC,即FGAD,又M为

AD BCAB222-1-的中点,所以AM1AD,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故

2GM∥FA,又因为ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．求证：PB1∥平面BDA1；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．

解：连结AB1与BA1交于点O，连结OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积

D

C

分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能

力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.，因为ABAD,CE//AB,所以CEAD.又PAADA,所以CE平面PAD。

（II）由（I）可知CEAD，在RtECD中，DE=CDcos451,CECDsin451,又因为ABCE1,AB//CE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCDS矩形ADCESECDABAE

又PA平面ABCD，PA=1，所以V四边形PABCDP115CEDE1211.2221155S四边形ABCDPA1.3326

4.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16题图)

答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，EFPD,又PD面PCD,EF面PCD

直线EF//平面PCD

（2）连接BDAB=AD,BAD=60,ABD为正三角形

F是AD的中点，BFAD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD面ABCD＝AD,BF面PAD,BF面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而，△DCQ的面积为

所以棱锥P—DCQ的体积为V213a.32，213a.3

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四边形，6．山东文如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面

AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．

（I）证法一：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD，又因为AB=2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得

BD2AD2AB22ADABcos603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD，又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1平面ADD1A1，故AA1BD.1.又AA

证法二：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D.，取AB的中点G，连接DG，在ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又BAD60，所以ADG为等边三角形。

因此GD=GB，故DBGGDB，又AGD60，所以GDB=30,故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BDAD.又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.（II）连接AC，A1C1，设ACBDE，连接EA1

因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC1AC.2

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以边四形A1ECC1为平行四边形，因此CC1//EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，平面BDC.

111SDAMS

DBCSDCA11,S

ABCsin60 2222

13S3 ∴三棱锥D

—ＡＢＣ的表面积是222

8.在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD。若AD，ABBC，求四面体ABCD的体积；

解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC； AB故四面体ABCD的体积

1114VSABCDF.3325

9.如图，在四面体的体积;中，平面平面，,.求四面体

解法一：如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG2A

C

B11AGCD由ACDFCDAG得DF22AC由

RtABC中,ABSABC1ABBC 2故四面体ABCD的体积V

1SABCDF

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