第一篇：线面平行证法探讨
线面平行证法探讨
惠来一中方文湃
今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下： 题目：如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。
求证：DM∥面PBC
这是一道证明线面平行的经典题目，大家知道，线线平行、线面平行、B面面平行在一定条件下，是可以相
互转化的。其关系如下图：
线∥面面∥面
一、转化为线线平行
证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而 “DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PBC的交线l显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。
接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：
[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。
惠来一中数学科组方文湃
1过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四边形 ∴DM∥CN，N
B
∵CNÌ面PBC，DMË面PBC，∴DM∥面PBC
[法二] 运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC； 若PB¹MA，设PM∩BA=E，ED∩BC=F（如图所示）。∵MA∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF
B∴DM∥FP，∵FPÌ面PBC，DMË面PBC
∴DM∥面PBC
小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。
二、转化为面面平行
证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(线面平行)。所以 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是相互
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密切、相互转化的关系。
[法三]：∵MA∥PB，AD∥BC PBÌ面PBC，MAË面PBC，BCÌ面PBC，ADË面PBC ∴MA∥面PBC，AD∥面PBC ∵MA∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMÌ面MAD∴DM∥面PBC
[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）
B
三、向量工具
自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。
[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；证明AB
⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC
[法六] ∵MA∥PB，∴存在lÎR，使AM=lPB，
∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP
CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、
练习题：如图，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别
1在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE
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B
C
求证：MN//平面CDE
具体解法，仿照上述。
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种方法的由来，以及其体现的数学思想。
惠来一中数学科组方文湃
第二篇：线面平行教案
§2.2.1 直线与平面平行的判定
【教学目标】
（1）识记直线与平面平行的判定定理并会应用证明简单的几何问题；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；（3）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。【教学重难点】
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。【教学过程】
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第54页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、观察
①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行 从情境抽象出图形语言a
b
探究问题：
平面外的直线a平行平面内的直线b ③直线a,b共面吗？ ④直线a与平面相交吗？
课本P55探究学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：
简记为： 符号表示：
2、典例
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
变式训练 ：如图，在空间四面体ABCD中,E,F,M,N分别为各棱的中点，变式一(学生口头表达)①四边形EFMN是什么四边形？
②若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？
B
③若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？ C
变式二
①直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？请证明？
②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？
例
2、如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M
求证：PD//平面MAC．
变式训练：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．
（三）效果检测
1.直线a//直线b,b平面,则a与的位置关系是：（）
A a//B a//或aC aDa//或a或a与相交 2.a是平面外的一条直线，可得出a//的条件是：（）A a与内的一条直线不相交B a与内的两条直线不相交
C a与内的无数条直线不相交D a与内的任意一条直线都不相交。
3、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（）A不存在B有且只有一个或不存在C有且只有一个D有无数个
4、下列三个命题正确的个数为（）
（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行
（2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行
（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行 A0B1C2D3 5.下面四个命题中：
①平面外的直线就是平面的平行线。②平行于同一平面的两条直线平行 ③过平面外一点可做无数条直线和这个平面平行。④三角形ABC中，AB//平面，延长CA,CB, 分别交于E,F两点，则AB//EF.正确命题的序号是：
6.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN//平面PAD．
7.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA12,E,E1,F分别是AD,AA1,AB的中点，证明：EE1//平面FCC
1【作业布置】
1、教材第62页习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
第三篇：证明线面平行
证明线面平行
一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内
二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外
三，证明线面无交点
四，反证法(线与面相交，再推翻)
五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面
线面平行
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
【平面与直线平行的性质】
定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。
注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
所以，MN//平面ACD
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
所以，MN//平面ACD
第四篇：线面平行证明
线面平行证明“三板斧”
第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面
内找到与已知直线的平行线。
例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。
练习：
如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD
第二斧：以平面外的直线作平行四边形
D
例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC
1练习：
如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：
A1E//平面B1CF
第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。
例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG
练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：
AC1//平面AB1D
B
C
总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。
1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN//平面PAD．
2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P
E
C
A
B
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；
AA
D
C
B1
C1
4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A
7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是
A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b
C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()
A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条
10.如图所示：设P
上的点，AMDN且MBNP
11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．
（３）求证：EF//平面BB1D1D．
第五篇：线面平行证明题
线面平行证明题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）.A.异面B.相交C.平行D.不能确定
2．若直线a、b均平行于平面α，则a与b的关系是（）.A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面
3．已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A.D1B1∥lB.BD//平面AD1B
1C.l∥平面A1D1B1D.l⊥B1 C1
4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A.α、β都平行于直线l
B.α内存在不共线的三点到β的距离相等
C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
5．下列说法正确的是（）.A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
6．下列说法正确的是（）.A.直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行
C.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
7．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是.8．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为
AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.DA
10．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.B
D11．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC（1）求证：MN//平面PAD；
（2）若E在PC上，CECP，过ADE做一平面与PB交与F点，是确定F点位置。
12.已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.13.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为 侧棱PC上一点且PA//面BDE，求
14.在正方体AC1中，PEPC的值。
C
A
AEAA1
13,过ED1和B作出正方体的截面
A1
′
E
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