关于线面平行问题的探讨

第一篇：关于线面平行问题的探讨

关于线面平行问题的探讨

刘玉扬中市第二高级中学 中学二级教师

摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考 线面平行 立体几何

正文

直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题

型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见

题型。本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往

年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E，F，G，H分别是空间四边

形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

（1）四点E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要证明E,F,G,H四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH和FG平行，或者直线EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，从而根据线面平行的判定定理证明。解：（1）E,F分别为AB，BC的中点，EF//AC

同理HG//AC，从而EF//HG

所以，直线EF和直线HG可以确定一个平面，E直线EF，直线EF，E。同理，F,G,H

故E,F,G,H四点共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又EF面EFGH，AC面EFGH，AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E，F，G，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，的中点，试在边DA上找一点H，使得四点E,F,G,H共面，并讨论当BD和AC满足什么关系时，四边形EFGH为菱形、正方形？

分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线，从而EF//HG，从而易知四边形EFGH为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解：E,F分别为边AB，BC的中点，EF//AC

又EF面ACD，AC平面ACD

EF//面ACD

E,F,G,H四点共面，即平面EFGH平面ACDHG

从而，EF//HG，故HG//AC，所以，H为边DA的中点。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四边形EFGH为平行四2

211边形。当EFFG，即ACBD，也即ACBD时，四边形EFGH为菱形；22

当ACBD时，有EFFG，从而，当ACBD且ACBD时，四边形EFGH易得，EF//为正方形。

【探究二】如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化，改为：在空间四面体ABCD

G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，中，且满足E，F，AEAHCFCG，EBHDFBGD

结论还成立吗？

分析：要证明四点共线以及线面平行，只要找到线线平行就可

以了。例1中，遇到中点经常联系到中位线得到平行，其实，得到

平行的方法还有很多，思维不能定势，在做立体几何题目的时候要

注意思维的灵活性，抓住线面平行判定的常用方法，找准线线平行

就可以了。

牛刀小试：[2011·北京卷改]如图，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE//平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

解：(1)证明：D，E分别为AP，AC的中点，DE//PC

又DE平面BCP，PC平面BCP



DE//平面BCP

(2)点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

DE//PC//FG，DG//AB//EF

四边形DEFG为平行四边形．

又PCAB，DEDG，从而平行四边形DEFG为矩形．

点评：证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中，常见的是运用判定定理来证明，这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难，下面我们再分析一下，一般情况下如何找平行线。

【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是B1C，BD的中点，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法，因为M，N分别是B1C，BD的中点，容易联想到中位线，连结AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以将点C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本题还可以取BC的中点G，通过证明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：连结AB1和AC，因为M，N分别是B1C，BD的中点，故MN//AB1，又MN平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：将中点弱化为线段上的点，并没有改变由线线平行得到线面平行的本质，只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法，本题非常简单，但是不用这个方法，怎么找出交线呢？显然，CN必和AB相交，设交点为E，CMA1B1B1，从而，B1E可看做是

MN//平面AA过MN的平面CMN与平面AA1B1B成立，根据线面平1B1B的交线，若结论

行的性质定理，必有MN//B1E，也就是说，只要我们能够证明MN//B1E，就可以证明最终的结论了。而要证明MN//B1E，根据已知条件，结合正方体的特点，证明并不难。

证明：如图，延长CN交直线AB于点E，连结B1E。CMDN，

而CMDN，MB1NBDNCNCMCN，从而，即有MN//B1E，又MN平面AA1B1B，NBNEMB1NE

B1E平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

点评：本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中，但是，实际解决问题时，我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中，适当改变

相应的条件。

【探究二】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为

菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如图，MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线，若PA//平面MQB，PMANANAQ1PCACANNCAQBC3。则有PA//MN，从而

解：连结AC交BQ于点N，则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN，若

PMAN，PA//平面MQB，由线面平行的性质定理，知PA//MN。从而，tPCAC

ANAQ1ANAN11，所以，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACANNC12

31t。3t

点评：解决这类探究性的命题，其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难，只要能够抓住条件，如本题，充分运用线面平行的判定、性质定理，化难为易。

牛刀小试：如图，平面内两个正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB，沿AB折成直二面角。（1）证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC2:3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE？若存在，试确定点G的位置。

分析：这是一类创新的题型——折叠问题，要能够把握折叠前后的不变量，问题就可以

迎刃而解。解决第二问时，只要根据面面平行的判定定理，由第一问的结论，再在面ABCD内过M点作AB的垂线，垂足即为点G。对于第一问，既可以通过面面平行来证，也可以在平面CBE内找一条直线与MN平行即可，还是可以利用线面平行的性质定理，延长AN交BE于点H，则直线CH为过MN的平面AMN与平面CBE的交线，则只要证明MN//CH即可，与例2的“探究二”类似。

解：（1）延长AN交BE于点H，则由AF//BE知，所以ANFNFNAM，而，NHNBNBMCAMAN，从而MN//CH。又因为MN平面CBE，CN平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC平面MNGMG，AGAM2。平面ABC平面CBECB知MG//BC，从而，GBMC3

【小结】本文通过两个例题，对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析，并根据例题进一步展开，探讨一般情况下如何找线线平行，进而根据判定定理来证明线面平行，当然，线面平行大体上有三种证法，由于篇幅限制，本文主要对判定定理进行了

拓展，希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

参考文献：

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）

[2]崔君强.好记好用得“光照法”证明线面平行[N].中学生数学.2011-6月上（419）

[3]张心诚.不同背景下的同一类线面平行问题[N].中学生数理化.2008（10）

第二篇：立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

E

第三篇：线面平行教案

§2.2.1 直线与平面平行的判定

【教学目标】

（1）识记直线与平面平行的判定定理并会应用证明简单的几何问题；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；（3）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。【教学重难点】

重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。【教学过程】

（一）创设情景、揭示课题

引导学生观察身边的实物，如教材第54页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

（二）研探新知

1、观察

①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行 从情境抽象出图形语言a



b

探究问题：

平面外的直线a平行平面内的直线b ③直线a,b共面吗？ ④直线a与平面相交吗？

课本P55探究学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：

简记为： 符号表示：

2、典例

例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

变式训练 ：如图，在空间四面体ABCD中,E,F,M,N分别为各棱的中点，变式一(学生口头表达)①四边形EFMN是什么四边形？

②若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？

B

③若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？ C

变式二

①直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？请证明？

②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？

例

2、如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M

求证：PD//平面MAC．

变式训练：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

（三）效果检测

1.直线a//直线b,b平面,则a与的位置关系是：（）

A a//B a//或aC aDa//或a或a与相交 2.a是平面外的一条直线，可得出a//的条件是：（）A a与内的一条直线不相交B a与内的两条直线不相交

C a与内的无数条直线不相交D a与内的任意一条直线都不相交。

3、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（）A不存在B有且只有一个或不存在C有且只有一个D有无数个

4、下列三个命题正确的个数为（）

（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行

（2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行

（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行 A0B1C2D3 5.下面四个命题中：

①平面外的直线就是平面的平行线。②平行于同一平面的两条直线平行 ③过平面外一点可做无数条直线和这个平面平行。④三角形ABC中，AB//平面，延长CA,CB, 分别交于E,F两点，则AB//EF.正确命题的序号是：

6.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

7.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA12,E,E1,F分别是AD,AA1,AB的中点，证明：EE1//平面FCC

1【作业布置】

1、教材第62页习题2.2 A组第3题；

2、预习：如何判定两个平面平行？

第四篇：证明线面平行

证明线面平行

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

【平面与直线平行的性质】

定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

第五篇：线面平行证明

线面平行证明“三板斧”

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面

内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

练习：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

D

例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC

1练习：

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：

A1E//平面B1CF

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG

练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：

AC1//平面AB1D

B

C

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P

E

C

A

B

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A

7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b

C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()

A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条

10.如图所示：设P

上的点，AMDN且MBNP

11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．