线面、面面平行习题

第一篇：线面、面面平行习题

线面、面面平行习题课

三、例题精讲

题型

1、线面平行判定定理，线面平行性质定理

线线平行 线面平行

例

1、（线线平行 →线面平行→线线平行）

解：已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

证法一： 经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，aa//c c同理：a//da//

c//ddc//ccbc//ba//ba//c

证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面=k，面π∩面=l.aa// k k同理：a// la//

a// l// k

又∵三个平面α、、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α相交于l1，和平面相交于直线l2.aa// l1 l1同理：a// l2a//

a// l1// l

2∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α，l2面，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,bα,且a∩b=,则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.C

1例

2、（线线平行→线面平行→线线平行→线面平行）证法一：连结AC、AC11，A

1长方体中A1A//C1CAC11//AC 

AC面A1C1C

A1C1面A1C1 

A BAC//面A1C1B

AC

面ACP

A1BPAM 面ACP面A1C1BMN

PCBCN1AC//MN

 MN面ABCDMN//面ABCD

AC面ABCD

证法二：利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质。∽PMPB

AA1M PBM MAAA1

 ∽ A1PNPB

PBNCCN 1

NCCC1

CC1AA1 

PMPN

AC//MN

MANCMN//面

ABCDMN面ABCD

AC面ABCD

点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理：利用线线平行，证线面平行；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.例3.（线线平行→线面平行→面面平行）

证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，C

1C

E、F分别是D1C1和B1C1的中点B1D1.2

正方体性质得B1D1//BD

EFBD.唯一平面，EF,BD

∴E、F、B、D共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.M、N为A1B1、A1D1的中点MN//EF



EF面EFBDMN面EFBD.

MN面EFBD

O四边形PAOQ为平行四边形PA//OQ 

OQ平面EFBDPA//面EFBD.



PA平面EFBD 



PAMNP

PA、MN面AMN

平面AMN平面EFBD.例4.（线线平行→线面平行→面面平行→线面平行）证法一：作FH∥AD交AB于H，连结HE.



BC

ADBFBH

FH//ADBDBA



BF＝B1E，BD＝AB1



B1EBHEH//B1B

AB1BA



B1B平面BB1C1CEH//平面BB1C1C

EH平面BB1C1CEHFH＝H

EH、FH平面FHE平面FHE//平面BB1C1C

EF//平面BB1C1C

EF平面FHEBC

1AD//BC

FH//BC

FH//AD



BC面BB1C1CFH//平面BB1C1C FH面BB1C1C



B1C1

D1

A1

证法二：(线线平行→线面平行)

A1

D1

连AF延长交BC于M，连结B1M.AD//BC

AFDF

AFD∽MFB

FMBF

BD＝B1A

DF＝AE

BE＝BF1







AFAE

FMB1E

EF//B1M



B1M平面BB1C1CEF//平面BB1C1CEF平面BB1C1C

说明：证法一证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面

内.证法二则是用了证线面平行，先证线线平行.例5.（面面平行→线线平行）

证明: 过A作直线AH//DF, 连结AD,GE,HF(如图).AH//m平面，AAH,mAD,GE,HF

 lAHA平面'，l,AH'GB,HC'

GE

AD,GE,HF

'GB,'HC



 ////

ABAGmlBG//CH ABDEBCGH BCEFAD//GE//HFAGDE、GHEF

例6．（线线平行→面面平行）证明：根据每相邻的两边互相垂直，边长均为a，A且AA1//CC1,将图形补成正方体，如图。则，B

C

只需在正方体中，证明面ABC//面A1B1C1即可。

A

1连接AC,AC11.正方体AB//B1C1且BC//A1B1





ABBCB,B1C1A1B1B1

AB,BC面ABC, A1B1,B1C面A1B1C面ABC//面A1B1C1

C1

B1

四、综合练习

1．证明：

证法一：(线线平行→线面平行（构造平行四边形）)

如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN。

面ABCD面ABEFABAEDB



APDQ

PEQB



PMQN

AB//QN

ABDCPMPE

PM//AB

ABAE

//

PM  QN四边形PMNQ为平行四边形PQ//MN



MN面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

证法二：(线线平行→线面平行（构造三角形，利用平行线段比，三角形相似比）)

如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.

面ABCD面ABEFABAEDB





APDQ

AQAPPQ//EKQKPE



EK面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

AD//BC

证法三：(面面平行→线面平行)

如图(1)，过PM∥BE交AB于M，连接MQ。

APAM



AEAB



面ABCD面ABEFABAEDBAPDQ

PM//BE

DQAQ

QBQK

A

M

F

P

B

D

Q

C

E

3



DQAM

MQ//ADDBABMQ//BC

AD//BC



PM//BEPMMQM,BEBCB



PM、MQ面PMQ,BE、BC面BCE

面PMQ

PM

2．证明：

GDGHGHEHA

HAC∥BD





ACBDBF

BFHB16

AEHA28

SAECSBFD

ACAEsinA

373

1744BFBDsinB2∴ SBFD96

3．证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.连结OQ

ABCD是平行四边形AOOC



PQ=PA

OQ是APC的中位线PC//OQ



PC面BDQ，OQ面BDQPC//平面BDQ.4．证明：连BF交CD于H，连PH

CFHF



AB//CDABF∽CFHFAFB



PECF

EBFA

PEHFEF//PH



EF// EBFB

EF面PCD,PH面PCD 

第二篇：线面,面面平行证明题

线面，面面平行证明

一．线面平行的判定

1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表示为：a,b,a//ba//

二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号语言:_____________________________________________________________________

选择题

1．已知直线l1、l2,平面α, l1∥l2, l1∥α, 那么l2与平面α的关系是（）.A.l1∥αB.l2αC.l2∥α或l2αD.l2与α相交

2．以下说法（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b

其中正确说法的个数是（）.A.0个B.1个 C.2个D.3个

3．已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（）.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交

4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（A.平行B.相交C.平行或相交D.AB

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系()

A ｂ∥αB ｂ与α相交CｂαDｂ∥α或ｂ与α相交

7．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：

//m//n

①mm//

n//

②m//

mm,n异面

③n

其中假命题有()

A0个B1个C2个D3个

8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为()

AｌαBｌαCｌ≠αDｌ∩α＝

9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()

A平行B相交C异面D平行或相交或异面

10．下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行

④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④.）

证明题：

1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：FGH．

2．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△ABC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行 的是哪几个面？试证明你的结论.平面D是直三棱柱ABC—A1B1C1的AB边上的中点，求证： AC1∥面B1CD。

C A1B

1B

5.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、SC的中点，求证： EF∥面SAD

E

B

C6、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A至A′的位置，取AB的中点为M,求证:ME∥平面ACD

7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

8.如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D

是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,ACBD=O,求证:平面AGO∥平面D1EF

AD

C

A B

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。



C

E B

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点：求证：平面AMC1//平面NB1C.12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC

B

第三篇：线面平行面面平行性质学案

必修22.2.3—2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质多听、多思、多做，成功就在那里等你。

2.2.3-2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质

【学习目标】

1、探究直线与平面平行的性质定理；

2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；

3、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 图形表示：

三、例题演示

4、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用。

【学习重点】

1、直线与平面平行的性质定理.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

【学习难点】

1、直线与平面平行的性质定理的应用.2、平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

一、旧知重现

1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。

2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与

此平面平行。可以用符号表示为：“_______________________________________________________”。

简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则

这两个平面平行。可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。

简记为“________________________________”.二、新知探究

1、思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？

2、直线与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________

图形表示：

3、思考题：当一个平面与另一个平面平行时，那么在什么条件下，一个平面内的直线与另一个平

面内的直线平行？

4、平面与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________例

1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面.例

2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.ADB

必修22.2.3—2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质多听、多思、多做，成功就在那里等你。

四、巩固训练

1、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于

2、已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;F、G.求证：EH∥FG.2、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.已知：如图,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.3、判断下列结论是否成立：

① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（）② 若∥，∥，则∥；（）③平行于同一个平面的两条直线平行；（）

④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（）

⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（）

五、课后作业

1、如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.六、课后思考

1、直线与平面平行的性质与平面与平面平行的性质体现了什么数学思想？

2、上述两条性质有哪些方面的应用？

3、你能将线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系图示表示出来吗？

线线平行

线面平行面面平行

第四篇：第60课时__线面平行、面面平行

2008届高三理科数学第一轮复习讲义第60课时

课题：线面平行、面面平行

教学目标：掌握线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的判定问题.（一）主要知识及主要方法：

1.线面平行的证明1判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行,那么这

a，条直线与这个平面平行；ba∥，2两平面平行的性质定理：

ABnABn0∥b.3向量法.方法1；AB∥ ABàABàA AB∥CD方法2；AB∥ABà C CDÔ

方法3；C

即利用平面向量基本定理进行证明.如图，CDxACyABCD∥（其中x,yCDà

BCA

2.面面平行的证明：1判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.2垂直于同一条直线的两个平面平行;3平行于同一个平面的两个平面平行.3设n1、n2分别是平面、的法向量，若n1∥n2，则∥

（二）典例分析：

问题1．（06北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且 PAAB，点E是PD的中点.1略； 2求证：PB∥平面AEC；3略.EA B D 437

问题

2008届高三理科数学第一轮复习讲义第60课时

S2．如图，在正三棱锥SABC中，E

D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD2DA，CE2ES，CF2FB，G是AB的中点.1求证：平面SAB∥平面DEF；

2求证：SG∥平面DEF

（三）走向高考：

AD

C

GS

E

AD

G

1.（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD, E、F分别为AB,SC的中点． 1证明EF∥平面SAD；2略.S

F

C

A

E

B

438

第五篇：2.2.3+2.2.4线面和面面平行的性质

山东省新泰市第二中学高一数学组主编人：李健 吴师磊

2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.4平面与平面平行的性质

学习目标：

1、掌握直线与平面平行的性质定理；会用性质定理进行简单地证明；

2、掌握面面平行的性质定理及其应用；

3、体会面面平行的判定与性质的异同；

4、进一步提高空间想象能力，思维能力，进一步体会类比的作用，进一步渗透等价转化的而思想。

预习导引：

1、要点扫描：

1、线面平行的性质定理

（1）定理：一条直线与一个平面平行，则_______与该直线__________。

（2）符号形式：

（3）作用：线面平行可以推出________________。

2、面面平行的性质定理

（1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面__________，那么它们的___________。

（2）符号形式：

（3）作用：面面平行可以推出_________________。

2、预习自测：

1、下列说法错误的是（）

A、平行于同一条直线的两个平面平行或相交

B、平行于同一个平面的两个平面平行

C、平行于同一条直线的两条直线平行

D、平行于同一个平面的两条直线平行或相交2、3个平面把空间分成6个部分，则（）

A、三平面共线B、三平面两两相交

C、有两平面平行且都与第三平面相交D、A或者C3、下列命题中正确的个数是（）

（1）若两个平面不相交，则它们平行；（2）若一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；（3）空间两个相等的角所在的平面平行。

A、0个B、1个C、2个D、3个

4、a和b是异面直线，则经过b可作_______个平面与直线a平行。

5、异面直线a，b都和一个平面平行，且它们和该平面内的同一条直线的夹角分别是450和600，则a和b的夹角为____________________。

课堂导学：

探索新知：

探究

1、直线与平面平行的性质定理

问题1：如图，直线a与平面平行，请在图中的平面内画出一条和直线a平行的直线b。问题 2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图中把直线 a, b 确定的平面画出来，并且表示为.问题 3：在你画出的图中，平面是经过直线 a, b 的平面，显然它和平面是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a 和b又是平行的.因此，你能得到什么结

论?请把它用符号语言写在下面.问题 4：在下图中过直线a再画另外一个平面与平面相交，交线为c 直线a , c平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢

?

新知

1、直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？

探究

2、平面与平面平行的性质定理

问题1：如图，平面与平面平行，a，请在图中的平面内画一条直线b与a平行。

问题2：在上图中，把平行直线a，b所确定的平面作出来，并且表示为。

问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线a，b分别是平面和平面的交线，并且它们是平行的。根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面。

问题4：在下图中，任意再作一个平面与平面、都相交，得到的两条交线平行么？和你上面得出的结论相符么？你能从理论上证明么？

新知

2、两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交

线平行。

反思：定理的实质是什么？

典型例题：

例

1、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC，⑴要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?

⑵所画的线与平面AC是什么位置关系

? ‘’‘’

例

2、如图，已知直线a,b，平面，且a ∥b，a∥，a, b 都在平面外.求证：b ∥

a.小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件（1）线面平行，即a//；（2）面面相交，即b；（3）线在面内，即b

试试:

求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行。

例

3、如图，//,AB//CD,且A,C,B，求证：AB=CD。

例4：已知平面//平面，AB、CD夹在，之间，AC，BD，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//，EF//（提示：注意AB、CD的关系）。

小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面。

试试：

A,C,B,D，已知平面//平面，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，（1）当S在，之间时，CS长是多少？

（2）当S不，之间时，CS长又是多少？

错题集锦：

如图，在正方体ABCD-EFGH中，M，N分别是FC，BD的中点，求证：MN//平面BFEA。错证：在平面BB1A1A内找不到与直线MN平行的直线而

无法证明。

错因解析：错解不会在平面内寻找平面外直线的平行线。证

明线面平行时，需要在平面内找平面外直线的平行线，如果

该平行线不易找可借助于线面平行的性质定理，即过平面外的直线作为已知平面相交的平面，则该交线即为所找的平行

线，在找到该直线后可根据该直线的特点在叙述怎样作出该

直线。

总结提升：

学习小结：

1、直线和平面平行的性质定理运用；

2、体会线线平行与平面平行之间的关系；

3、平面与平面平行的性质定理及应用；

4、直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换。

知识拓展：

1、在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论。

2、两个平面平行，还有如下结论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；

⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交

.当堂检测

1、a，b，c表示直线，M表示平面，可以确定a//b的条件是（）

A、a//M,bM B、a//c,c//b C、a//M,b//M D、a，b和c的夹角相等

2、平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD上，又EH//FG，则（）

A、EH//BD，BD不平行于FGB、FG//BD，EH不平行于BD

C、EH//BD,FG//BDD、以上都不对

3、m，n是不重合的直线，,是不重合的平面：

（1）m,n//,则m//n；（2）m,m//,则//；

（3）n,m//n,则m//且m//；上面结论正确的有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

4、AB和CD是夹在平行平面,间的两条异面线段，E、F分别是它们的中点，则EF和（）A、平行 B、相交C、垂直D、不能确定

5、在由正方体棱的中点组成的直线中，和正方体的一个对角面平行的直线有____条。

6、若面//面,面//面,求证：//.课后作业：

已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与平面相交于M、N两点，求证：

AMBN。MCND