关于线线、线面及面面平行的问题

第一篇：关于线线、线面及面面平行的问题

关于线线、线面及面面平行的问题

典型例题：

例1.（2012年四川省文5分）下列命题正确的是【】

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C。

【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确。故选C。

例2.（2012年浙江省文5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，则a∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β, l∥α，则l⊥β

【答案】B。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。

【解析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：

A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确； C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D。

故选 B。

例3.（2012年山东省文12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求证：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BD中点为O，连接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE。

∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵MN∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考点】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角

形的性质。

【解析】(Ⅰ)要证BE=DE，只要证点E是BD垂直平分线上的点即可。故取BD中点为O，连接OC，OE，由已知证明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要证DM∥平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N，连接MN，DN，证明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

（I）求证：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

→→→【答案】解：（I）如图，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。

a设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E2，1，0，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1，AB1＝(a,0,1)，AE＝，1，0。∴AD1＝(0,1,1)，B1E＝22

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)。

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得ax2y＝0.a1，－a。取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝2

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝。2

（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→设AD1与n所成的角为θ，则cosθ＝＝→|n||AD1|

aa ∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的长为2。2

【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向

→→建立空间直角坐标系。设AB＝a，给出图形中各点的坐标，可求出向量AD1和B1E 的坐标，验证其数量积

为0即可证出两线段垂直。

（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点

P满足题意。

（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长。

第二篇：线面 线线面面平行垂直方法总结

所有权归张志涛所有

线线平行

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）

2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行

3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.5.平行线分线段成比例定理的逆定理

线面平行

1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。）

2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点

5.反证法（线与面相交，再推翻）

6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行

8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.面面平行

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）

6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.线线垂直

1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这

所有权归张志涛所有

条直线垂直于斜线。

线面垂直

1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直

1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质

主要性质

1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）

1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）

直线在平面内判定方法

1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.4.【性质】X3及垂直关系性质

5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.直线在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.2.【性质】X5、X7及垂直关系性质

主要性质

3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.所有权归张志涛所有

【性质】

1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质

2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）

第三篇：线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

第四篇：线面、面面平行习题

线面、面面平行习题课

三、例题精讲

题型

1、线面平行判定定理，线面平行性质定理

线线平行 线面平行

例

1、（线线平行 →线面平行→线线平行）

解：已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

证法一： 经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，aa//c c同理：a//da//

c//ddc//ccbc//ba//ba//c

证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面=k，面π∩面=l.aa// k k同理：a// la//

a// l// k

又∵三个平面α、、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α相交于l1，和平面相交于直线l2.aa// l1 l1同理：a// l2a//

a// l1// l

2∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α，l2面，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,bα,且a∩b=,则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.C

1例

2、（线线平行→线面平行→线线平行→线面平行）证法一：连结AC、AC11，A

1长方体中A1A//C1CAC11//AC 

AC面A1C1C

A1C1面A1C1 

A BAC//面A1C1B

AC

面ACP

A1BPAM 面ACP面A1C1BMN

PCBCN1AC//MN

 MN面ABCDMN//面ABCD

AC面ABCD

证法二：利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质。∽PMPB

AA1M PBM MAAA1

 ∽ A1PNPB

PBNCCN 1

NCCC1

CC1AA1 

PMPN

AC//MN

MANCMN//面

ABCDMN面ABCD

AC面ABCD

点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理：利用线线平行，证线面平行；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.例3.（线线平行→线面平行→面面平行）

证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，C

1C

E、F分别是D1C1和B1C1的中点B1D1.2

正方体性质得B1D1//BD

EFBD.唯一平面，EF,BD

∴E、F、B、D共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.M、N为A1B1、A1D1的中点MN//EF



EF面EFBDMN面EFBD.

MN面EFBD

O四边形PAOQ为平行四边形PA//OQ 

OQ平面EFBDPA//面EFBD.



PA平面EFBD 



PAMNP

PA、MN面AMN

平面AMN平面EFBD.例4.（线线平行→线面平行→面面平行→线面平行）证法一：作FH∥AD交AB于H，连结HE.



BC

ADBFBH

FH//ADBDBA



BF＝B1E，BD＝AB1



B1EBHEH//B1B

AB1BA



B1B平面BB1C1CEH//平面BB1C1C

EH平面BB1C1CEHFH＝H

EH、FH平面FHE平面FHE//平面BB1C1C

EF//平面BB1C1C

EF平面FHEBC

1AD//BC

FH//BC

FH//AD



BC面BB1C1CFH//平面BB1C1C FH面BB1C1C



B1C1

D1

A1

证法二：(线线平行→线面平行)

A1

D1

连AF延长交BC于M，连结B1M.AD//BC

AFDF

AFD∽MFB

FMBF

BD＝B1A

DF＝AE

BE＝BF1







AFAE

FMB1E

EF//B1M



B1M平面BB1C1CEF//平面BB1C1CEF平面BB1C1C

说明：证法一证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面

内.证法二则是用了证线面平行，先证线线平行.例5.（面面平行→线线平行）

证明: 过A作直线AH//DF, 连结AD,GE,HF(如图).AH//m平面，AAH,mAD,GE,HF

 lAHA平面'，l,AH'GB,HC'

GE

AD,GE,HF

'GB,'HC



 ////

ABAGmlBG//CH ABDEBCGH BCEFAD//GE//HFAGDE、GHEF

例6．（线线平行→面面平行）证明：根据每相邻的两边互相垂直，边长均为a，A且AA1//CC1,将图形补成正方体，如图。则，B

C

只需在正方体中，证明面ABC//面A1B1C1即可。

A

1连接AC,AC11.正方体AB//B1C1且BC//A1B1





ABBCB,B1C1A1B1B1

AB,BC面ABC, A1B1,B1C面A1B1C面ABC//面A1B1C1

C1

B1

四、综合练习

1．证明：

证法一：(线线平行→线面平行（构造平行四边形）)

如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN。

面ABCD面ABEFABAEDB



APDQ

PEQB



PMQN

AB//QN

ABDCPMPE

PM//AB

ABAE

//

PM  QN四边形PMNQ为平行四边形PQ//MN



MN面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

证法二：(线线平行→线面平行（构造三角形，利用平行线段比，三角形相似比）)

如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.

面ABCD面ABEFABAEDB





APDQ

AQAPPQ//EKQKPE



EK面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

AD//BC

证法三：(面面平行→线面平行)

如图(1)，过PM∥BE交AB于M，连接MQ。

APAM



AEAB



面ABCD面ABEFABAEDBAPDQ

PM//BE

DQAQ

QBQK

A

M

F

P

B

D

Q

C

E

3



DQAM

MQ//ADDBABMQ//BC

AD//BC



PM//BEPMMQM,BEBCB



PM、MQ面PMQ,BE、BC面BCE

面PMQ

PM

2．证明：

GDGHGHEHA

HAC∥BD





ACBDBF

BFHB16

AEHA28

SAECSBFD

ACAEsinA

373

1744BFBDsinB2∴ SBFD96

3．证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.连结OQ

ABCD是平行四边形AOOC



PQ=PA

OQ是APC的中位线PC//OQ



PC面BDQ，OQ面BDQPC//平面BDQ.4．证明：连BF交CD于H，连PH

CFHF



AB//CDABF∽CFHFAFB



PECF

EBFA

PEHFEF//PH



EF// EBFB

EF面PCD,PH面PCD 

第五篇：线面,面面平行证明题

线面，面面平行证明

一．线面平行的判定

1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表示为：a,b,a//ba//

二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号语言:_____________________________________________________________________

选择题

1．已知直线l1、l2,平面α, l1∥l2, l1∥α, 那么l2与平面α的关系是（）.A.l1∥αB.l2αC.l2∥α或l2αD.l2与α相交

2．以下说法（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b

其中正确说法的个数是（）.A.0个B.1个 C.2个D.3个

3．已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（）.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交

4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（A.平行B.相交C.平行或相交D.AB

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系()

A ｂ∥αB ｂ与α相交CｂαDｂ∥α或ｂ与α相交

7．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：

//m//n

①mm//

n//

②m//

mm,n异面

③n

其中假命题有()

A0个B1个C2个D3个

8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为()

AｌαBｌαCｌ≠αDｌ∩α＝

9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()

A平行B相交C异面D平行或相交或异面

10．下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行

④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④.）

证明题：

1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：FGH．

2．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△ABC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行 的是哪几个面？试证明你的结论.平面D是直三棱柱ABC—A1B1C1的AB边上的中点，求证： AC1∥面B1CD。

C A1B

1B

5.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、SC的中点，求证： EF∥面SAD

E

B

C6、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A至A′的位置，取AB的中点为M,求证:ME∥平面ACD

7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

8.如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D

是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,ACBD=O,求证:平面AGO∥平面D1EF

AD

C

A B

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。



C

E B

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点：求证：平面AMC1//平面NB1C.12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC

B