第一篇:线线平行的证明
线与线平行的证明
一。定义:同在一个平面内,不相交的两条直线平行。
二。利用几何图形:三角形中中位线、边成比例,平行四边形等
三。公理四,平行于同一条直线的两条直线。
四。线面平行的性质
五。面面平行的性质。
一例1.设平面α、β、γ,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,且a//b.求证:a∥b∥c.二例2.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE∶EABF∶FD,求证:EF//平面PBC.
答案:证明:连结AF并延长交
于.连结,BFMFPEBFPEMF,又由已知,∴. FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EFPBC,PM平面PBC,∴EF//平面PBC
. ∵AD//BC,∴
E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求二。例3.如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,证:EF//平面BB1D1D.
答案:证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB,11∵OF平行且等于B1C1,BE平行且等于B1C1,2
2∴OF平行且等于BE,则OFEB为平行四边形,∴EF//BO.
∵EF平面BB1D1D,BO平面BB1D1D,∴EF//平面BB1D1D.
三、四第1题.已知a,m,b,且m//,求证:a//b. 答案:证明:
m
m//m//aa//b.
a同理m//b
第9题.如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.
答案:解:如图,连接DB交AC于点O,取D1D的中点M,连接MA,MC,则截面MAC即为所求作的截面.
∵MO为△D1DB的中位线,∴D1B//MO.
∵D1B平面MAC,MO平面MAC,∴D1B//平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.
第20题.如图,在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点.
求证:MN//平面PAD.
答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME ∵M,N分别是AB,PC的中点,∴NE//PD,ME//AD,可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD. 又NEMEE,∴平面MNE//平面PAD,又MN平面MNE,∴MN//平面PAD.
第7题.如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD//平面MAC.
答案:证明:连接AC、BD交点为O,连接MO,则MO为△BDP的中位线,∴PD//MO.
∵PD平面MAC,MO平面MAC,∴PD//
平面MAC.
第二篇:线线、线面平行垂直的证明
空间线面、面面平行垂直的证明
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、BC的中点,(Ⅰ)求证:EF//面A1C1B。(Ⅱ)B1D⊥面A1C1B。
D'
3.如图,在正方形ABCDA'B'C'D',A'(1)求证:A'B//平面ACD';
(2)求证:平面ACD'平面DD'B。
A
4.如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证:(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'
C
B
5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是AC和BD的交点.求证:(Ⅰ)OC1∥平面AB1D1;(Ⅱ)平面ACC1平面AB1D1.
DA
C1
C
(5题图)
6.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,点P为
DD1的中点。
(1)求三棱锥DPAC的体积;(2)求证:直线BD1∥平面PAC;(3)求证:直线PB1平面PAC.C1
D1
B1
A1
P
DC
B
A
7.如图,在四棱锥PABCD,底面ABCD是正方形,侧棱
PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点,作EFPB于点F。
(1)证明:PA//平面EDB;(2)证明:DEBC
(3)证明:PB平面EFD。
8.ABCDA1B1C1D1是长方体,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱
A
AA12,E是侧棱BB1的中点.(Ⅰ)求证:AE平面A1D1E;
(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.
第三篇:线面平行的证明中的找线技巧
线面平行的证明中的找线技巧
1.已知直线a∥平面,直线a∥平面,平面平面=b,求证a//b.
分析: 利用公理4,寻求一条直线分别与a,b均平行,从而达到a∥b的目的.可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现.
证明:经过a作两个平面和,与平面和分别相交于直线c和d,∵a∥平面,a∥平面,∴a∥c,a∥d,∴c∥d,又∵d平面,c平面,∴c∥平面,又c平面,平面∩平面=b,∴c∥b,又∵a∥c,所以,a∥b.
2.已知:空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF//A平面BCD. 证明:连结BD,在ABD中,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF//BD,EF平面BCD,BD平面BCD,∴EF//平面BCD.
3、已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD。
B
证明:连结BD,在△ABD中,∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴ EF∥BD
B正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥面BCE.又 EF平面BCD,BD平面BCD,∴EF∥平面BCD(直线和平面平行判定定理)
A
F
D
C
证法一:如图9-3-4(1),作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴
PMAB
PEAE,QNDC
BQBD
.∴
PMAB
QNDC
.∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE,PQ面BCE,∴PQ∥面BCE.证法二:如图9-3-4(2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK.∵AD∥BC,∴
DQQB
AQQK
.又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB,且AP=DQ,∴
AQQK
APPE
.则PQ∥EK.∴EK面BCE,PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.点拨:证明直线和平面平行的方法有:①利用定义采用反证法;②判定定理;③利用面面平行,证线面平行.其中主要方法是②、③两法,在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 已知:如图9-3-6,面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α
2.求证:a∥b.证法一:过直线a作两个平面β1和β2,使得平面β1∩平面β1=c,面β2∩面α2=d.∵a∥面α1,a∥面α2,∴a∥c,a∥d.∴c∥d.∵d面α2,c面α2.∴c∥面α2.又∵c面α1,面α1∩面α2=b,∴c∥b.∴a∥b.证法二:经过a作一平面π,使得平面π∩面α1=k,面π∩面α2=l.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥k,a∥l,则k∥l∥a.∵三个平面α
1、α
2、π两两相交,交线分别为k、l、b且k∥l,∴k∥l∥b,则a∥b.证法三:在b上任取一点A,过A和直线a作平面和平面α1相交于l1,和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵过一点只能作一条直线与另一直线平行,∴l1与l2重合.又∵l1面α1,l2面α2,∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b面α,则a∥b;(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c;(3)若a∥b,b∥c,则a∥c;(4)若a∥α;aβ,α∩β=b,则a∥b.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证:PC∥面BDQ..证明:如答图9-3-2,连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形,∴AO=OC.连结OQ,则OQ在平面BDQ内,且OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,∴PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证:(1)E、F、B、D
四点共面;(2)面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB,如答图9-3-3,则由正方体性质得 B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点,∴∴121
2B1D1.BD.∴E、F、B、D对共面.(2)连结A1C1交MN于P点,交EF于点Q,连结AC交BD于点O,分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点,∴MN∥EF,EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD,∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P,PA、MN面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.//
S72S。
证明:
GDGHGAC//BD
EACFBD
HEHAHAE//BF
ACBD
GAGB
9
21AE∥BF
BFAE
HBHA
1628
AC∥BD
SAECSBFD
212
ACAEsinA
BFBDsinB
37374
4∴ SBFD96正方形ABCD交正方形ABEF于AB(如图所示)M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证:MN //平面BCE
证:过N作NP//AB交BE于P,过M作MQ//AB交BC于Q
CM
QM
BN
NPEF
AC
ABBF
NPMQ
又 ∵
NP//AB//MQMQPN
MN//面BCE
PQ面BCE
PE
CF
FA求证:EF//面PCD
CF
HFFB
MN//PQ
10.P为ABCD所在平面外一点,EPB,FAC,且EB
.证:连BF交CD于H,连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA
PE
CFFA
HFFB
在BPH中EB
EF//PH
EF面PCDPHPCD∴ 11已知:平面α∩平面β=a求证:a、b、c证明:∵α∩β=a,β∩∴a、bβ
∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b 而a、bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点 又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时
∵α∩γ=c且aα,aγ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c
故a、b、c两两平行.12如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.求证:EF∥平面BB1C1C.证法一:连AF延长交BC于M,连结B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴
AFFM
DFBF
又∵BD=B1A,B1E=BF ∴DF=AE ∴
AFFM
AEB1E
∴EF∥B1M,B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.证法二:作FH∥AD交AB于H,连结HE ∵AD∥BC
∴FH∥BC,BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得
BFBD
BHBA
又BF=B1E,BD=AB1 ∴
B1EAB1
BHBA
∴EH∥B1B,B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C,EH∩FH=H
∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为
nm
(m+p)2平方单位.13如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.分析一:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,除上面的证法外,还可以连CN并延长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MN∥B1P.分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过MN作一个平面,使此平面与平面ABB1A1平行,从而证得MN∥平面ABB1A1.(本题证明请读者自己完成,本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.)
第四篇:A 证明线线平行的方法
A 证明线线平行的方法:
①面面平行的判定:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
②线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行。③平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线。
④基本性质四:平行于同一直线的两直线互相平行。
B 证明线面平行的方法:
①面面平行的性质:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
②线面平行的性质:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
③定义:直线a与平面a没有公共点,则直线与平面平行。
C 证明面面平行的方法:
①定义:如果两个平面没有公共点,则这两个平面互相平行。②面面平行的判定:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
③面面平行的性质:如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线,则这两个平面平行。
第五篇:关于线线、线面及面面平行的问题
关于线线、线面及面面平行的问题
典型例题:
例1.(2012年四川省文5分)下列命题正确的是【】
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C。
【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确。故选C。
例2.(2012年浙江省文5分)设l是直线,α,β是两个不同的平面【】
A.若l∥α,l∥β,则a∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β, l∥α,则l⊥β
【答案】B。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。
【解析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命题:
A,若l∥α,l∥β,则满足题意的两平面可能相交,排除A;
B,若l∥α,l⊥β,则在平面α内存在一条直线垂直于平面β,从而两平面垂直,故B正确; C,若α⊥β,l⊥α,则l可能在平面β内,排除C;
D,若α⊥β, l∥α,则l可能与β平行,相交,排除D。
故选 B。
例3.(2012年山东省文12分)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(Ⅰ)求证:BE=DE;
(Ⅱ)若∠BCD=1200,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面
BEC.【答案】解:(Ⅰ)证明:取BD中点为O,连接OC,OE,∵BC=CD,∴CO⊥BD,又∵EC⊥BD,CO∩EC=C,∴BD⊥平面OCE.。
又∵OE平面OCE.,∴BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线。
∴BE=DE。
(Ⅱ)取AB中点N,连接MN,DN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE。
∵△ABD是等边三角形,∴DN⊥AB,∠ABD=60°。
∵∠BCD=120°,BC=CD,∴∠CBD=30°。
∴∠ABC=60°+30°=90°,即BC⊥AB。
∴ND∥BC。
又∵MN∩ND=N,BE∩BC=B,∴平面MND∥平面BEC。
又∵DM平面MND,∴DM∥平面BEC。
【考点】线面垂直和平行的证明,线段垂直平分线的判定和性质,等边三角
形的性质。
【解析】(Ⅰ)要证BE=DE,只要证点E是BD垂直平分线上的点即可。故取BD中点为O,连接OC,OE,由已知证明BD⊥OE即可。
(Ⅱ)要证DM∥平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上,故取AB中点N,连接MN,DN,证明平面MND∥平面BEC即可。
例4.(2012年福建省理13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.
(I)求证:B1E⊥AD1;
(II)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由;(III)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
→→→【答案】解:(I)如图,以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系。
a设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E2,1,0,B1(a,0,1)。
aa→→→→-,1,-1,AB1=(a,0,1),AE=,1,0。∴AD1=(0,1,1),B1E=22
a→→∵AD1·B1E0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1。2
→(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时DP=(0,-1,z0)。
又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
ax+z=0,→→∵n⊥平面B1AE,∴n⊥AB1,n⊥AE,得ax2y=0.a1,-a。取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=2
a1→要使DP∥平面B1AE,只要n⊥DP,即-az0=0,解得z0=。22
1又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=。2
(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D。
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C。又由(I)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1。
→→∴AD1是平面A1B1E的一个法向量,此时AD1=(0,1,1)。
→n·AD→设AD1与n所成的角为θ,则cosθ==→|n||AD1|
aa ∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°
3a=3a=2,即AB的长为2。2
【考点】用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定。
→→→【解析】(Ⅰ)由题意及所给的图形,以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向
→→建立空间直角坐标系。设AB=a,给出图形中各点的坐标,可求出向量AD1和B1E 的坐标,验证其数量积
为0即可证出两线段垂直。
(II)由题意,可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量与直线DP的方向向量内积为0,由此方程解出z0的值,若能解出,则说明存在,若不存在符合条件的z0的值,说明不存在这样的点
P满足题意。
(III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程,解出a的值即可得出AB的长。