平行证明

第一篇：平行证明

北师版 八上7单元测试

一、填空题

1、如图1，直线AB、CD被直线EF所截①量得∠3=100°，∠4=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是_____________

②量得∠1=80°,∠3=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是________________

2、如图2，BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C ①从∠CBE=∠A，可以判定直线_______与直线_______平行，它的根据是___________

②从∠CBE=∠C，可以判定直线_______和直线_______平行，它的根据是___________

图

1图

2图3图

43、如图3，∠α=125°,∠1=50°，则∠β的度数是_______.4、如图4，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.5、已知，如图5，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠

D=__________.6、已知，如图6，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED

=__________.图

5图67、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=____，∠B=____，∠C=____.8、在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.9、命题“任意两个直角都相等”的条件是_____，结论是

_____，它是____（真或假）命题.10、如图7，根据图形及上下文的含义推理并填空：

（1）∵∠A=_______（已知）∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）∴AB∥FD（）

图7图8

二、选择题

1.下列语言是命题的是()

A.画两条相等的线段 B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C使OC=OA D.两直线平行，内错角相等.2.如图8，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC

等于A.63°B.62°C.55°D.118°

3.下列语句错误的是()

A.同角的补角相等B.同位角相等C.同垂直于一条直线的两直线平行D.两条直线相交只有一个交点

4、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80° D.505、两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线

A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系

6、如图9，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A.35B.45°C.55°D.75°

三、判断下列命题是真命题还是假命题.（）（1）若|a|=|b|，则a=b;（）（2）若a=b，则a3=b3;

（）（3）若x=a，则x2－(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,则a=b;（）（5）若x＞3，则x＞2.四、把下列命题写成“如果„„，那么„„”的形式，并指出条件和结论.（1）全等三角形的对应角相等；（2）等角的补角相等；

（3）同圆或等圆的半径相等；（4）自然数必为有理数；

（5）同角的余角相等；（6）两直线平行，同位角相等；

五、解答下列问题

1、如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗？为什么？

2、如图，已知∠1与∠2互补，问∠3和∠4互补吗？为什么？

六、在横线或括号中填上适当的符号和理由，完成下面的证明过

（1）如图10，已知EF∥AB，∠A+∠AEC+∠C=360°求证：AB∥CD

证明：∵EF∥AB（已知）∴∠A+_______=180°又∵∠A+∠AEC+∠C=360°()∴∠C+∠CEF=_______()

∴_______∥CD()∴AB∥CD()

(2)如图11，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，FG⊥AB，求证：CD⊥AB

证明：∠ADE=∠B（）

∴DE∥_______()

∠1=_______()

∵∠1=∠2（∴∠2=∠3（CD∥_______（∠BGF=_______（又∵FG⊥AB（∴∠BGF=_______（∴∠BDC=_______（∴CD⊥AB（图10图11))))))))

七、证明题

1.已知，如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.2、已知，如图，∠ACE是△ABC的外角，∠ABC与∠ACE的角平分线BP、CP交于点P.。求证：∠P=1∠A.2

第二篇：平行的证明

高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

1通过平移;

2利用三角形中位线的性质；

3利用平行四边形的性质；

4利用对应线段成比例；

5利用面面平行，等等

一．通过“平移”再利用平行四边形的性质

1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD的中点．求证：AF平面PCE

第1题图

2、如图，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB＝1，BC＝2，CD＝1A作AECD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.Ⅰ求证：BC面CDE；

Ⅱ求证：FG面BCD；

3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点,ACBE.求证：

ⅠC1DBC；

ⅡC1D平面B1FM.4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,CD2AB,E为PC的中点,证明:EB面PAD

二．利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。

6.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA平面BDE

7.如图，三棱柱ABC—A1BC中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；1

18.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，11BCAD，BEAF,G,H分别为FA,FD的中点

2

2Ⅰ证明：四边形是平行四边形；

Ⅱ四点是否共面？为什么？

E

三．利用平行四边形的性质

9.正方体ABCD A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;

A

10.在四棱锥PABCD中，ABCD，ABDC，为.EPD的中点，求证：AE平面PBC；

11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90EA平面ABCDEF//AB,FG//BC,EG//AC,AB2EF

1若M是线段AD的中点，求证：GM//平面ABFE;

2若ACBC2AE，求二面角A-BF-C的大小。

四．利用对应线段成比例

12.如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且AMBN=，求证：MN//平面SDC SMND

13.如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AMFN求证：MN平面BEC

五。利用面面平行

14.如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；

（2）求证：CM

//平面BEF； 

C

第三篇：证明线面平行

证明线面平行

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

【平面与直线平行的性质】

定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

第四篇：怎么证明两条线平行

怎么证明两条线平行

假如不平行，就会有一个焦点，那么这个焦点和两个垂足会构成一个三角形，这个三角形的内角有2个90度，那么内角和就比180度大了，所以是错的，所以……

设线段为AB，垂直于AB的两条线为CD，EF，分别交AB于G，H点

假设CD，EF不平行，则他们会有交点，设为O点，则图中有三角形OGH出现，又OG和OH都垂直于AB，所以〈OGH=90度，〈OHG=90度，〈OGH+〈OHG+〈GOH必定大于180度，而三角形内角和却是180度，于事实矛盾，所以垂直于同一条线段的两条线相互平行.假设，垂直于直线l的两条直线a,b相交于直线l外一点A。

直线a在直线l上的垂足为M,直线b在直线l上的垂足为N，则点A,M,N组成三角形。

因为直线a,b垂直于直线l，所以，角AMN与角ANM为90度，这与三角形定义相矛盾

所以，垂直于同一条线段的两条线相互平行.不妨设：垂直于同一条线段的两条线不平行，那么，这两条直线必定有一个交点O，所以，这三条直线必定会组成一个三角形，那么角O必定是一个存在的角(即角O有实际度数)那么根据在三角形中一个外角等于不相邻的两内角的和，(因为两条直线垂直于同一条直线，所以)外角=90°，其中不相邻的一个内角也为90°，那么90°+角O(存在的角度)=90°，是不成立的，因此：垂直于同一条线段的两条线相互平行

假设是AB和CD，不妨令AB

把他们放在平行的位置

连接AC和BD并延长交于E

则在AB上任取1点F，连接EF和CD都有唯一的交点

反之，在CD上任取1点G，连接EG和AB都有唯一的交点

即两线段上的点可以建立一一对应的关系

所以点数相同

用两条直线将一个平行四边形分成面积相等的4份有无数种分法。

最常用的两种用尺规法分割的方法是：

(1)、连接两条对角线。两条对角线分割成的4部分就是面积相等的4部分。

(2)、找出四条边的中点，分别连接相对两边的中点。这两条相交直线分割成的4部分就是面积相等的4部分。

以上两种方法是用尺规法可以完成的，还有无数种分割法比较复杂，原理是这样的：

连接两条对角线后找到它们的交点O，过O作任意直线分平行四边形为两份。

不难发现这两部分是面积、形状完全相等的两个梯形。

过O作其中一个梯形的中位线，那么梯形被分成面积不相等的两份(注意，是不相等的两份)。

假设中位线与梯形另一边(即原平行四边形的一边)的交点是动点，那么当这个动点在向梯形较长底边运动的过程中，原本面积较大的部分面积逐渐减小，而原本面积较小的部分面积逐渐变大。当运动到某一点的时候，存在两部分面积相等的情况。

根据对称性，这个平行四边形被分成了面积相等的4份。

但是，第二条直线的位置的确定，需要根据平行四边形的实际情况和先作出的那条任意直线的情况不同而定，所以我还没找出一个通用的公式。

第五篇：证明直线平行

证明直线平行

证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O又因为a‖b,a‖c所以过O有b、c两条直线平行于a这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。因为a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推论)

2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有:1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行.2、三角形或梯形的中位线定理.3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选C认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JLZE一B/（一、图月一飞/匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行.例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF.(l)求证:EF//Bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以A一定平行于B