线面平行的证明中的找线技巧

第一篇：线面平行的证明中的找线技巧

线面平行的证明中的找线技巧

1.已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a∥平面，a∥平面，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d平面，c平面，∴c∥平面，又c平面，平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

2．已知：空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//A平面BCD． 证明：连结BD，在ABD中，∵E,F分别是AB,AD的中点，∴EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF//平面BCD．

3、已知：空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD。

B

证明：连结BD，在△ABD中，∵E、F分别是AB、AD的中点 ∴ EF∥BD

B正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.又 EF平面BCD，BD平面BCD，∴EF∥平面BCD（直线和平面平行判定定理）

A

F

D

C

证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴

PMAB

PEAE,QNDC



BQBD

.∴

PMAB



QNDC

.∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.∵AD∥BC,∴

DQQB



AQQK

.又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，∴

AQQK

APPE

.则PQ∥EK.∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 已知：如图9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α

2.求证：a∥b.证法一：过直线a作两个平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d面α2,c面α2.∴c∥面α2.又∵c面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2, ∴a∥k，a∥l，则k∥l∥a.∵三个平面α

1、α

2、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2, ∴a∥l1,a∥l2.∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α1，l2面α2，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b面α，则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ..证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D

四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得 B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴∴121

2B1D1.BD.∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵O,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.//

S72S。

证明：

GDGHGAC//BD

EACFBD

HEHAHAE//BF



ACBD

GAGB

9

21AE∥BF



BFAE

HBHA

1628

AC∥BD

SAECSBFD



212

ACAEsinA



BFBDsinB

37374

4∴ SBFD96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

CM

QM

BN

NPEF

AC



ABBF

NPMQ

又 ∵

NP//AB//MQMQPN



MN//面BCE

PQ面BCE

PE

CF

FA求证：EF//面PCD

CF

HFFB

MN//PQ

10.P为ABCD所在平面外一点，EPB，FAC，且EB

.证：连BF交CD于H，连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA

PE

CFFA

HFFB



在BPH中EB

EF//PH





EF面PCDPHPCD∴ 11已知：平面α∩平面β＝a求证：a、b、c证明：∵α∩β＝a，β∩∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.12如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AFFM

DFBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM

AEB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD

BHBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1EAB1

BHBA

∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为

nm

(m+p)2平方单位.13如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.（本题证明请读者自己完成，本题中对转化思想的考查值得我们认真思考.）

第二篇：线面垂直的证明中的找线技巧



线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1如图1，在正方体ABCDA1BC11D1中，AO平面MBD．

1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

32322

2设正方体棱长为a，则A1Oa，MOa．

2492222

AMa．∵AO在Rt△AC中，∴AOMOMMO2AM111111

4∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

证明：连结MO，

． ∵OM

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

判定性质

判定性质

线面垂直面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA

平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAEAE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

．∵SC平面AEFG，∴SCAE

．∴

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC

∵

BC，∴CFAB．

ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD

平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，PBC． ∵PA

AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∴PA

BC．

平面ABC，BC平面ABC，BC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

即证线面垂直，而证线面垂直则需从

D证明：过A作AO⊥平面BCD于O

ABCD，CDBO 同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

于是BDCOBDAC

A

C

证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

8.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

C

EN//

.证：取PD中点E，则

DC

2C

EN

AE/

//AM

/MN

9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：

A'C

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

D

解： G∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG EAB∴A'E⊥BC

F设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

222

A'D=A'E+ED-2•A'E•EDcos60°

=3a

222

∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明:

①∵SA平面ABC∴SABC又∵BCAB, 且ABSA = A∴BC平面SAB∵AN平面SAB∴ANBC②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B∴AN平面SBC∵SCC平面SBC∴ANSC又∵AMSC, 且AMAN = A∴SC平面ANM

11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可 证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=

CDAE

又CDAD

CD平面PADCD//ABMNAB

PA平面AC

AE平面PADAE//MN

2a∴PD=

a在ΔABC中AD=

AB2BD2

=

222

a∵AD+PD=aa22

=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC 12.如图，直角BAC在证：如图所示，AABAC为射影

AA//BB

AB

面AACAAAB

AB13 以ABAB

ABAB//AB

ABAAAB//

直。

解：

PABCAB面AEF

第三篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

第四篇：证明线面平行

证明线面平行

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

【平面与直线平行的性质】

定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

本题就用到一个关键概念：重心三分中线

设E为BD的中点，连接AE，CE

则M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点

所以，MN//平面ACD

第五篇：线面平行证明

线面平行证明“三板斧”

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面

内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

练习：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

D

例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC

1练习：

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：

A1E//平面B1CF

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG

练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：

AC1//平面AB1D

B

C

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P

E

C

A

B

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A

7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b

C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()

A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条

10.如图所示：设P

上的点，AMDN且MBNP

11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．