立体几何的平行与证明问题

第一篇：立体几何的平行与证明问题

立体几何

1．知识网络

一、经典例题剖析

考点一 点线面的位置关系

1、设l是直线,a,β是两个不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,则a∥β B．若l∥a,l⊥β,则a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,则l⊥β D．若a⊥β, l∥a,则l⊥β

2、下列命题正确的是（）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3、已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则（）

A．m与n异面.B．m与n相交.C．m与n平行.D．m与n异面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为

_____________.D

1CB

考点二证明平行关系

5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，D C

BDE。求证： AC1//平面

6、（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

为底面中心, A1O⊥平面ABCD, ABAA1

A

(Ⅰ)证明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.考点三证明垂直问题

7、（2013年高考辽宁卷（文））

如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(I)求证:BC平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.8、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.D1AD

BBC

1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC面AB1D1．1

C

综合练习：

9、（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC

边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中BC

.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;

图

410、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=证明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC平面B'D'DB；BD'

平面ACB'.11、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）（2）

第二篇：立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

E

第三篇：立体几何证明问题

证明问题

例1.如图，E、F分别是长方体边形

.-的棱A、C的中点，求证：四边形是平行四

例2.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD与E、F、G.求证：AE⊥SB.例3.如图，长方体∠求证：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分别为棱、、BC上的点，PQ//AB，连结，例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如图所示.求证：PQ//平面

CBE.例5.如图直角三角形ABC平面外一点S，且SA=SB=SC，且点D为斜边AC的中点.（1）求证：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求证BD⊥平面

SAC.例6.如图，在正方体

-中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点.求证：平面AMN//平面

EFDB.例7.如图（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求证：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：高中立体几何证明平行的专题训练

1． 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：求证：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证： C1D∥平面B1FM.4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明:

EB//平面PAD;

5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

6．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

7．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且MN∥平面SDC11、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且



DC，E为PD中点.AMSM

=

BNND，求证：

AF2F

P

.求证：CM//平面BEF；

第五篇：高中立体几何证明平行的专题

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

一、利用三角形及一边的平行线a.利用中位线

b.利用对应线段成比例

（a）、利用中位线

例

1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

例

2、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证AB1//平面BC1D

例

3、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

练习

1、ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD1//平面C1DE1DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC；

2练习

2、在三棱柱ABCA1B//平面ADC1； 1B1C1中，D为BC中点.求证：A

B

1B

C1

练习

3、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点,证明: EB//平面PAD;

练习

4、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.（b)、利用对应线段成比例

例

4、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

SDC

AMBN

=，求证：MN∥平面SMND

例

5、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

1A

A

二、利用平行四边形的性质

例6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

例

7、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，求证：FG∥面BCD；

例

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

例

9、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC

2练习

5、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面

PAD；

练习

6、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点.求证：C1O//平面AD1B1.练习

7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是

AB、PD的中点．求证：AF//平面PEC

P

A

E

B

C

练习

8、在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是CC1，AB的中点．求证：CN //平面AB1M．

C

1A1

M

B1

C

A

B

3利用平行线的传递性

例

10、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：C1D∥平面B1FM.F

A

1D

A

练习

9、三棱柱ABC—A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点.求证：MN∥平面A1C1D；

4利用面面平行

例

11、如图，三棱锥PABC中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.求证：CM//平面BEF；