2013届高三数学专题——立体几何(二)线面平行与垂直

第一篇：2013届高三数学专题——立体几何(二)线面平行与垂直

2013届高三数学专题——立体几何

（二）线面平行与垂直

一、定理内容（数学语言）

（1）证明线面平行

（2）证明面面平行

（3）证明线面垂直

（4）证明面面垂直

二、定理内容（文字语言与数学图形）

（1）证明线面平行：

（2）证明面面平行：

（3）证明线面垂直：

（4）证明面面垂直：

三、典型例题

1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，M、N 分别为PA、BC的中点，且PDAD．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD．

M

N

A

B

C

2．在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，ABBC，E、F分别是棱BC、PC 的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）证明：EFBC．

3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC．

F

P

A

E

B

C

BC1；（Ⅰ）若ABAC，求证：AC

1BC1，求证：ABAC．（Ⅱ）若AC1

B

4．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC．

C

B

5．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1,AC1平面A1BD，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅱ）求证：B1C1平面ABB1A1；

（Ⅲ）设E是CC1上一点，试确定E的位置使

平面A1BD平面BDE，并说明理由．

D

A

C

AB1

C1



6．三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC90，ABBCBB12，M,N分别是AB，AC1的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN平面A1B1C；

（Ⅲ）求三棱锥MA1B1C的体积．

B

M

A

CN

A1

B1

C1

四、练习

1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14．（Ⅰ）求证ACBC1；

（Ⅱ）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，试给出证明；

若不存在，请说明理由．

CC

1A1

B1

A

B

2．在三棱锥PABC中，PAC和

PBCAB2，O是AB中点.（Ⅰ）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

B

．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ABADCACBCDBD2．

（Ⅰ）求证：AO平面BCD；

（Ⅱ）在AC上是否存在点F，使AO∥面DEF？若存在，找出点F的位置；

若不存在，说明理由．

B

五、模拟试题与真题

1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1ADB1的体积．

2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的 中点，PAPDAD2．（Ⅰ）求证：AD平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使PA//平面MQB．

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ACIBD=O.（Ⅰ）若ACPD，求证：AC平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求证：PB=PD；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD?

PPM

若存在，求的值；若不存在，说明理由．



B

C

PC

B

A

O

C

4．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DABDBF60，且FAFC．

（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD．

5．四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，BCD60，PAPDE是BC中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：ADPB；（Ⅱ）若

6．已知菱形ABCD中，AB=4，BAD60（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）证明：AC1BD；

（Ⅲ）当EF

AB时，求线段AC1的长．



PQ

，当PA∥平面DEQ时，求的值． PPC

Q

CE

A

B

DC

1FM

A

图1

BAE

图2

B

7．如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为

AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE

沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2．（Ⅰ）求证：DE//平面A1CB；（Ⅱ）求证：A1FBE；

A1

DFC

图1

B

C

F

B

图2

E

⊥平面DEQ？（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使AC1

说明理由．

第二篇：专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直汇总

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

二、练习题

第三篇：立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

E

第四篇：2012高一数学必修二立体几何的线面垂直

2012必修二立体几何的线面垂直

1．如图，四面体ABCD中，AD平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BCCD． 求证：（1）EF//平面BCD（2）BC平面ACD．

2.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F PF求证：（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC；

（3）PC平面AEF．

BAEC3、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B-ACB1体积．

D

1A

D

C

B

C1

A1

B14、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O∥面AB1D

1DABBC1

面AB1D1．（2）AC1

C



5．如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；

P

A B

C

6.如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90，证明SC⊥BC

7.如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点． 求证：MN⊥AB．

8.如图：在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，（１）求证：BC⊥平面PAC；（２）求证：PB⊥平面AEF.PE

F

A

B

C2

9.如图：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中点，求证：BC⊥PM.P

A

B

第五篇：立体几何中线面平行垂直性质判定2012

2012考前集训高频考点立体几何考纲解读

必须掌握空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理

判定定理

1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b,a//b,则a//.2.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b,abp,a//,b//,则//.3.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.即若m,n,mnB,lm,ln,则l.4.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l,则.性质定理

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a//,a,b,则a//b.2.两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a//b

3.垂直于同一平面的两直线平行，即若a,b,则a//b

4.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若，a,l,la,则l.必须掌握常见几何体的表面积及体积公式：

V柱体Sh(S为底面积,h为柱体高)

V锥体V台体

V球体1Sh(S为底面积,h为柱体高)31(S'S'SS)h(S',S分别为上,下底面积,h为台体高)34R3(R为球体半径)

31.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证

EFG∽ABC, 所以

FGEF111,即FGBC,即FGAD,又M为

AD BCAB222-1-的中点,所以AM1AD,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故

2GM∥FA,又因为ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．求证：PB1∥平面BDA1；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．

解：连结AB1与BA1交于点O，连结OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积

D

C

分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能

力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.，因为ABAD,CE//AB,所以CEAD.又PAADA,所以CE平面PAD。

（II）由（I）可知CEAD，在RtECD中，DE=CDcos451,CECDsin451,又因为ABCE1,AB//CE，所以四边形ABCE为矩形，所以S四边形ABCDS矩形ADCESECDABAE

又PA平面ABCD，PA=1，所以V四边形PABCDP115CEDE1211.2221155S四边形ABCDPA1.3326

4.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16题图)

答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，EFPD,又PD面PCD,EF面PCD

直线EF//平面PCD

（2）连接BDAB=AD,BAD=60,ABD为正三角形

F是AD的中点，BFAD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD面ABCD＝AD,BF面PAD,BF面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而，△DCQ的面积为

所以棱锥P—DCQ的体积为V213a.32，213a.3

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四边形，6．山东文如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面

AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．

（I）证法一：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD，又因为AB=2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得

BD2AD2AB22ADABcos603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD，又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1平面ADD1A1，故AA1BD.1.又AA

证法二：

因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D.，取AB的中点G，连接DG，在ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又BAD60，所以ADG为等边三角形。

因此GD=GB，故DBGGDB，又AGD60，所以GDB=30,故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BDAD.又ADD1DD,所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.（II）连接AC，A1C1，设ACBDE，连接EA1

因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC1AC.2

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以边四形A1ECC1为平行四边形，因此CC1//EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，平面BDC.

111SDAMS

DBCSDCA11,S

ABCsin60 2222

13S3 ∴三棱锥D

—ＡＢＣ的表面积是222

8.在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD。若AD，ABBC，求四面体ABCD的体积；

解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC； AB故四面体ABCD的体积

1114VSABCDF.3325

9.如图，在四面体的体积;中，平面平面，,.求四面体

解法一：如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG2A

C

B11AGCD由ACDFCDAG得DF22AC由

RtABC中,ABSABC1ABBC 2故四面体ABCD的体积V

1SABCDF

38-5-