高中立体几何中线面平行的常见方法

第一篇：高中立体几何中线面平行的常见方法

高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。

（3）利用平行四边形的性质。

（4）利用对应线段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC

是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

F

A

1D

A4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC

//

AD，BE

2//

AF，G,H分别为FA,FD的中点 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.2求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

BC

2BC 2

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AM

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

AMBN

=，SMND13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行



14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFB

第二篇：立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

E

第三篇：立体几何中线面平行的经典方法+经典题(学生用)

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为

线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C

1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.BA1

DFA14、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形,BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点,证明: EB//平面PAD;

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC

//

AD，BE

2//

AF，G,H分别为FA,FD的中点 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

DC，E为PD中点.211、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、AMBN

N分别是SA、BD上的点，且=，SMND求证：MN∥平面SDC13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC

为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

直线、平面平行的判定及其性质 经典题

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是A．0B．1C．2D．33． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行

A．4B．3C．2D．1 6．已知空间四边形ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是（）

A．MN1ACBCB．MN1ACBC

2C．MN1ACBCD．MN1ACBC

二、填空题

7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

三、解答题

10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A

11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1//平面BDG.6

第四篇：立体几何三视图及线面平行经典练习

立体几何三视图

例

1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如图1，△ ABC为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC且3AA=

（）

例

4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.2

B.4

3BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是

2C.2

练习

D.4 3

3正(主)视

侧(左)视图

俯视图

1.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A．

234B．2C．D．

433

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何 体的体积为 ．．



B． 42

C．D．

2A．

侧视图

3.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为

.．．．

2正视图

2侧视图

正视图

侧视图

俯视图

俯视图

4.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A.C.空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线的位置关系

判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。·异面直线所成角不大于90度!空间中直线与平面之间的位置关系

·直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。平面与平面之间的位置关系

·平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行 2 直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。平面与平面平行的判定

定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行直线与平面平行的性质

定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。

（·作用：证明线线平行 ·做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

补充：证明线线平行的方法： 1.平行的传递性

2.线面平行的性质定理（·关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.b

α

C.b与α相交D.以上都有可能

3． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空间中，下列命题正确的是()． A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β．β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β，的是（）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()． A．平行C．异面

B．相交 D．平行或异面

9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//bC．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a 10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命题中，假命题的是A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βB.若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ不在平面内，给出六个命题：

a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c④

为三个不重合的平面，直线均

∥c

∥∥

a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.16.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面

PCE.

第五篇：立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]

立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1）方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法（略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；

E

A

C

F

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。