高中立体几何证明平行的专题（五篇范文）

第一篇：高中立体几何证明平行的专题

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

一、利用三角形及一边的平行线a.利用中位线

b.利用对应线段成比例

（a）、利用中位线

例

1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

例

2、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证AB1//平面BC1D

例

3、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

练习

1、ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD1//平面C1DE1DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC；

2练习

2、在三棱柱ABCA1B//平面ADC1； 1B1C1中，D为BC中点.求证：A

B

1B

C1

练习

3、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点,证明: EB//平面PAD;

练习

4、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.（b)、利用对应线段成比例

例

4、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

SDC

AMBN

=，求证：MN∥平面SMND

例

5、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

1A

A

二、利用平行四边形的性质

例6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

例

7、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，求证：FG∥面BCD；

例

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

例

9、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC

2练习

5、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面

PAD；

练习

6、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点.求证：C1O//平面AD1B1.练习

7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是

AB、PD的中点．求证：AF//平面PEC

P

A

E

B

C

练习

8、在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是CC1，AB的中点．求证：CN //平面AB1M．

C

1A1

M

B1

C

A

B

3利用平行线的传递性

例

10、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：C1D∥平面B1FM.F

A

1D

A

练习

9、三棱柱ABC—A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点.求证：MN∥平面A1C1D；

4利用面面平行

例

11、如图，三棱锥PABC中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.求证：CM//平面BEF；

第二篇：高中立体几何证明平行的专题训练

1． 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：求证：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证： C1D∥平面B1FM.4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明:

EB//平面PAD;

5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

6．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

7．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且MN∥平面SDC11、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且



DC，E为PD中点.AMSM

=

BNND，求证：

AF2F

P

.求证：CM//平面BEF；

第三篇：高中立体几何证明平行的专题训练)

高中立体几何证明平行的专题训练

深圳市龙岗区东升学校——罗虎胜

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

AD

BA14、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连

MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O

是正方形的中心，E是

PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

2128、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90,BC

//

AD，BE

//

AF，G,H分别为FA,FD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD

中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

DC，E为PD

2分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

12BC

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AMBC

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N证：MN∥平面BEC

AMSM

=

BNND，分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行

14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面

CMN//EFB

第四篇：高中立体几何证明方法

高中立体几何

一、平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a,

ab

//b)

线面平行性质

////



a

b

a//a//b

//

a





//

a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

在内射影a

则aOAaPOaPOaAO

l

线面垂直定义





a



la



ba a,ab







a a

面面垂直定义

l，且二面角l

成直二面角





3.平行与垂直关系的转化：

a//ba

a

a

b

a



//

面面平行判定2 面面平行性质

3ab

a//b

//a

a

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：

二、三类角

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b

）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

第五篇：立体几何的平行与证明问题

立体几何

1．知识网络

一、经典例题剖析

考点一 点线面的位置关系

1、设l是直线,a,β是两个不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,则a∥β B．若l∥a,l⊥β,则a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,则l⊥β D．若a⊥β, l∥a,则l⊥β

2、下列命题正确的是（）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3、已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则（）

A．m与n异面.B．m与n相交.C．m与n平行.D．m与n异面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为

_____________.D

1CB

考点二证明平行关系

5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，D C

BDE。求证： AC1//平面

6、（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

为底面中心, A1O⊥平面ABCD, ABAA1

A

(Ⅰ)证明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.考点三证明垂直问题

7、（2013年高考辽宁卷（文））

如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(I)求证:BC平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.8、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.D1AD

BBC

1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC面AB1D1．1

C

综合练习：

9、（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC

边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中BC

.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;

图

410、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=证明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC平面B'D'DB；BD'

平面ACB'.11、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）（2）