高中立体几何证明垂直的专题训练

第一篇：高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1)通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证

BF⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P－ABCDABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥PAB中，AB平面,PAB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且

DF

AB,PH为PAD中AD边上的高。

2（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1，ADFC1，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.分析：要证EF平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD, 易证DG⊥平面PAB

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。证明: BE平面PDC;

分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，PCAC．APBPAB，（Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；

P

A

C

B6、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为

1的正方形，PACD,PA1,PD求证:PA平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，且ABAD

CD1．

2现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面

ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；

（2）求证：BC平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（1）证明：连结OCBODO,ABAD,AOBD.B

E

BODO,BCCD,

COBD.在AOC中，由已知可得AO1,CO 而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.BDOCO, AO平面BCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，10、如图，四棱锥SABCD中，ABBC

ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形

BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE又SD=1，故EDSESD，所以DSE为直角。

由ABDE,ABSE,DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.P

A15、如图，在圆锥PO中，已知POO的直径AB2,C是狐AB的中点，D为

AC的中点．证明：平面POD平面PAC;

16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．

求证：平面ABM⊥平面PCD； ．

证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B

第二篇：立体几何垂直证明范文

立体几何专题----垂直证明

学习内容：线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

P

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A

B

C5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，求证:PA平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD

平面PAC;

第三篇：高中立体几何证明平行的专题训练

1． 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：求证：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证： C1D∥平面B1FM.4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明:

EB//平面PAD;

5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

6．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

7．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且MN∥平面SDC11、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且



DC，E为PD中点.AMSM

=

BNND，求证：

AF2F

P

.求证：CM//平面BEF；

第四篇：高中立体几何证明平行的专题训练)

高中立体几何证明平行的专题训练

深圳市龙岗区东升学校——罗虎胜

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

AD

BA14、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连

MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O

是正方形的中心，E是

PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

2128、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90,BC

//

AD，BE

//

AF，G,H分别为FA,FD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD

中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

DC，E为PD

2分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

12BC

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AMBC

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N证：MN∥平面BEC

AMSM

=

BNND，分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行

14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面

CMN//EFB

第五篇：高中立体几何证明方法

高中立体几何

一、平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a,

ab

//b)

线面平行性质

////



a

b

a//a//b

//

a





//

a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

在内射影a

则aOAaPOaPOaAO

l

线面垂直定义





a



la



ba a,ab







a a

面面垂直定义

l，且二面角l

成直二面角





3.平行与垂直关系的转化：

a//ba

a

a

b

a



//

面面平行判定2 面面平行性质

3ab

a//b

//a

a

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：

二、三类角

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b

）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。