第一篇：怎么证明垂直
怎么证明垂直
1、利用勾股定理的逆定理证明
勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、利用“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、利用菱形的对角线互相垂直证明
菱形的对角线互相垂直。
6、利用全等三角形证明
主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同
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1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
Ⅰ.平行关系：
线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系：
线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：。
第二篇：如何证明面面垂直
如何证明面面垂直
设p是三角形ABC所在平面外的一点，p到A,B,C三点的距离相等,角BAC为直角，求证：平面pCB垂直平面ABC
过p作pQ⊥面ABC于Q，则Q为p在面ABC的投影，因为p到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面pCB上有线段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC
2证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面
然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线
也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
2一、初中部分
1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
Ⅰ.平行关系：
线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系：
线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
第三篇：立体几何垂直证明范文
立体几何专题----垂直证明
学习内容：线面垂直面面垂直
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。
试题探究
一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面
1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=
12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；
3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形
BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。
证明: BE平面PDC;
二、利用等腰三角形底边上的中线的性质
4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．
（Ⅰ）求证：PCAB；
P
（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A
B
C5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC
三、利用勾股定理
PACD,PA1,PD
6、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，求证:PA平面ABCD；
_A _D
_B_C7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD
（1）求证：AO平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B
E
四、利用三角形全等或三角行相似
8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；
五、利用直径所对的圆周角是直角
10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P
A11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD
平面PAC;
第四篇：《垂直关系证明》专题
《垂直关系》
例
1、如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO
平面MBD．
1例
2、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAC．
SA⊥平面ABCD，例
3、如图１所示，ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．
求证：AESB，AGSD．
例
4、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
例
5、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
例
6、如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC
图9—40
例
7、如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD
例
8、如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．求证：平面MNF⊥平面ENF．
图9—
42《垂直关系》专题练习
1、如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;
2、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
4、如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.求证：NP⊥平面ABCD.5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D
DA
1DA
C1
C6、如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．求证：平面PCE⊥平面PCD
图9—457、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．BA
C
第五篇：证明垂直习题
线面、面面垂直的判定及性质
一、选择题
1、已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（）A．３Ｂ．２Ｃ．１
Ｄ．０
2、已知直线l平面，有以下几个判断：①若ml，则m//；②若m，则m//l；
③若m//，则ml；④若m//l，则m．上述判断中正确的是（）
Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④
3、直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有（）
Ａ．0条 Ｂ．1条Ｃ．无数条Ｄ．内所有直线
4、在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）
Ａ．平面ABD平面BDCＢ．平面ABC平面ABD Ｃ．平面ABC平面ADC
Ｄ．平面ABC平面BED
二、填空题
1、已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是．
2、，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①mn；②；③n；④m．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作
为结论，写出你认为正确的一个命题．
3、设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC，PBPD，则PO与平面ABCD的关系是．
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三、解答题
1、如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．
求证：AESB，AGSD．
S2、如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//CD，AMEF．
求证：MF⊥AB，MF⊥PC
P
A）第 1 页（共 6 页）
3、如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．（1）求证：SD平面ABC；
（2）若ABBC，求证：BD面SAC．
4、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.C
1AC
A5、已知：如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，求CD长．
6、如图，在四棱锥PABCD中平面PAD⊥平面ABCD，ABAD，DAB60，E，F分别是AP,AB的中点，求证：（1）EF∥平面PCD，（2）平面BEF⊥平面PAD7、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为PA，BC的中点，PD平面ABCD，PDAB
2,CD
1（1）求证：MN∥平面PCD（2）求证：MCBD8、如图，已知AB面ACD，DE面ACD，ACAD，DE2AB，F为CD中点（1）求证：AF∥面BCE（2）求证：面BCE
面CDE9、如图，在四面体ABCD中，CDCB，ADBD，E，F分别是AB,BD的中点，求证：（1）EF∥面ACD（2）面EFC
面BCD
A10、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，（1）求BE和面ABB1A1所成角的正弦值
（2）在棱C1D1是否存在一点F，使得B1F∥面A1BE？并证明你的结论
C1
AC
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