证明线面垂直的专项练习

第一篇：证明线面垂直的专项练习

线面垂直

1：（本小题满分13分）(09广东 文）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（3）证明：直线BD平面PEG.w.w.w..s.5.u.c.o.m（2）求该安全标识墩的体积；(64000)

2、(09广东 理数）如图６，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面

DCC1D1内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边

界的棱锥的体积；

（２）证明：直线FG1平面FEE1；

（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值（）

33、.(11广东 理）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB

600,PAPDPB2,E,F分别是BC,PC的中点，（1）证明：AD平面DEF

（2）求二面角PADB的余弦值。（

21）7

14.(11湖南 文 12分）在圆锥PO

中，已知POO的直径AB2,点C在AB上,且CAB=30,D为AC的中点．（Ⅰ）证明：AC平面POD;

（Ⅱ）求直线 OC平面PAC所成角的正弦值.（）

35.(11北京 理）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,BAD60（1）求证：BD平面PAC

(2)PA=AB,求PB与AC所成的角的余弦值。

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA 的长（PA

6）

6．（本小题满分12分）（11褔建 文）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，∠CDA=45°，（12）求四棱锥P-ABCD的体积（7.（本小题满分12分）(11天津 文）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

5)6

线面垂直

8、如图，四棱锥P的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD

（Ⅰ）求证:PA平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积.（Ⅲ）求直线PB与底面ABCD所成角的大小.9、已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别

为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；

（2）求证：平面BDE平面BDF；

（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。

10、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，_ A

_C

_D

PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；（3）求二面角A－PB－D的大小.11．如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4．

P

（1）证明PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．12.（2012年广东理 13分）

Q

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；(tan3)

13.（2012

江西理12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。

14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，2PE=EC。

（I）证明PC平面BED；

（II）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

15.（本小题满分13分）(11广东 文）

图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分别为

'

CD,C'D',DE,D'E'的中点，O1,O1',O2,O2分别为

CD,C'D',DE,D'E'的中点.（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

''

（2）设G为A A′中点，延长AO1到H′，使得O1HAO1.证明：BO2平面HBG

'

'

'

'

'

''

'

'

'

18（本小题满分4分）(13广东 理）

如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900BC=6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=

错

误！未找到引用源。，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

1）

证明：A’O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.（

第二篇：线面垂直面面垂直专题练习

线面垂直专题练习

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

aMa//baMa//M①②③b∥M④M.bMa//bb⊥abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第2题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

4有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.35.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

6.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.7.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

A1C1C9、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BA

C10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问

△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举

出反例．

BA C

第三篇：线面垂直与面面垂直知识点和专项练习

知识改变命运，奋斗成就未来

线面垂直与面面垂直

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理：判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.3.面面垂直的判定定理：

4.面面垂直的性质定理： 例

1、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.题型

一、线面垂直的判定与性质

1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC

求证：AC平面PBD

D2、已知，如图，四面体A-BCD中，ABCD,ADBC,H为BCD的垂心。求证：AH平面BCD3、如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，点M,N分别为AB,PC的中点，B

C

D

求证：MNAB

C

M

题型

二、面面垂直的判定与性质

4、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上任一点，请写出图中互相垂直的平面，并说明理由。

5、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C1，且C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。

C

1（）求证：1ADBC1

(2)求证：面ADC1面BDC1.6、已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。（1）求证：AE平面BCD;（2）求证：ADBC;

题型

三、平行与垂直的综合题

7、已知PA矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MNCD

(2)若PDA=45。，求证：MN平面PCD.B

E

C

D8、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：GNAC;

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.F

E

主视图a

左视图

G

D

N

C

a

a

A

MB

俯视图

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；

2、如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB平面PAD，E为PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD;

（2）若ADPB，求证：PA平面ABC

第四篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：线面垂直面面垂直及二面角专题练习

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//baMaMa//Mb∥M④bM②a//b③b⊥M.abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.36.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于

2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.二、解答题：

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

BA

C

二面角练习1210

1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.52B.C.D.632

32.边长为a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，这时二

2面角B－AD－C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折起，若折起后的三角形ABC为等边三角形，则二面角C－AD－B的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别 是AC、AD、CA的中点。求证：平面BEF

^平面BEG。

性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定义法：在棱上取点，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求证：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；

（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求证：平面PAB^平面APA^BC。PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C