证明线面垂直的三步法[合集5篇]

第一篇：证明线面垂直的三步法

证明线面垂直的万能法则

王霖普

方法1

一条线垂直于平面内的两条直线

（构建等腰三角形高，勾股定理，三角形组相似产生互余角，或三角函数值证明相似，求出三角形中两角的三角函数值，若不是特殊值可能用到诱导公式，致使令一角为90度

方法2

三垂线定理

（1）与上面的法则配合使用

（2）射影定理继而构建三垂线定理

（3）由线面角，面面角诱导线面垂直

看边角关系就是看是否构成直角或等腰的情况

第二篇：证明线面垂直的专项练习

线面垂直

1：（本小题满分13分）(09广东 文）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（3）证明：直线BD平面PEG.w.w.w..s.5.u.c.o.m（2）求该安全标识墩的体积；(64000)

2、(09广东 理数）如图６，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面

DCC1D1内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边

界的棱锥的体积；

（２）证明：直线FG1平面FEE1；

（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值（）

33、.(11广东 理）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB

600,PAPDPB2,E,F分别是BC,PC的中点，（1）证明：AD平面DEF

（2）求二面角PADB的余弦值。（

21）7

14.(11湖南 文 12分）在圆锥PO

中，已知POO的直径AB2,点C在AB上,且CAB=30,D为AC的中点．（Ⅰ）证明：AC平面POD;

（Ⅱ）求直线 OC平面PAC所成角的正弦值.（）

35.(11北京 理）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,BAD60（1）求证：BD平面PAC

(2)PA=AB,求PB与AC所成的角的余弦值。

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA 的长（PA

6）

6．（本小题满分12分）（11褔建 文）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，∠CDA=45°，（12）求四棱锥P-ABCD的体积（7.（本小题满分12分）(11天津 文）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

5)6

线面垂直

8、如图，四棱锥P的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD

（Ⅰ）求证:PA平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积.（Ⅲ）求直线PB与底面ABCD所成角的大小.9、已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别

为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；

（2）求证：平面BDE平面BDF；

（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。

10、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，_ A

_C

_D

PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；（3）求二面角A－PB－D的大小.11．如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4．

P

（1）证明PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．12.（2012年广东理 13分）

Q

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；(tan3)

13.（2012

江西理12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。

14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，2PE=EC。

（I）证明PC平面BED；

（II）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

15.（本小题满分13分）(11广东 文）

图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分别为

'

CD,C'D',DE,D'E'的中点，O1,O1',O2,O2分别为

CD,C'D',DE,D'E'的中点.（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

''

（2）设G为A A′中点，延长AO1到H′，使得O1HAO1.证明：BO2平面HBG

'

'

'

'

'

''

'

'

'

18（本小题满分4分）(13广东 理）

如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900BC=6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=

错

误！未找到引用源。，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

1）

证明：A’O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.（

第三篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

第四篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

第五篇：线面垂直高考题

高考真题演练：

(2012天津文数).（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理数）（本小题满分13分）P如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面

直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.C

D

（2010年安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，BFC90,BF=FC，H为BC的中点.（I）求证：FH//平面EDB；

（II）求证：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理数)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

（2012辽宁）如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，[来源:学科网]

///

ABACAA/,点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角AMNC为直二面角，求的值。

（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1ACCC1E分别是棱BC，11，D，上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． A1求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小

（2012广东），在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长。

（2012大纲全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面图形ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC2,BB1

4，ABAC，A1B1A1C1BC和B1C1折叠，使ABC

与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

（Ⅰ）证明：AA1BC；（Ⅱ）求AA1的长；（Ⅲ）求二面角ABCA1的余弦值。