教案《线面垂直的判定》

第一篇：教案《线面垂直的判定》

陕西省西安中学附属远程教育学校

线面垂直的判定

教学目标

1．知识与技能

掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．

2．过程与方法

通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．

3．情感、态度与价值观

垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．

教材分析

教材以旗杆与地面、书脊与桌面等日常生活中学生熟悉的实例人手，让学生在直观感知的基础上借助直角三角板形成直线与平面垂直的概念．然后以长方体模型为基础，让学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直呢?结合长方体模型中具体的线面关系，让学生进行操作确认，从而得到直线与平面垂直的判定定理．突出了长方体模型在帮助学生思考垂直关系中的作用．

在平面与平面垂直的判定这一节中，教材的展开思路与

教学目标

1．知识与技能

掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用．

2．过程与方法

在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力．

3．情感、态度与价值观

垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．

教材分析

本节课是第6节的第一课时，是立体几何的核心内容之一．在学生学习了线面平行关

系之后，仍以长方体为载体，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初运用”的认知过程的一个再强化．

学情分析

学生已经学习了直线和平面、平面和平面平行的判定及性质，学习了两直线(共面或异面)互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力． 教学重点和难点

本节的重点：垂直关系的判定定理．

本节的难点：对直线和平面垂直判定定理的理解．

教学过程

问题提出

问题1空间一条直线与平面有哪几种位置关系?

问题2在直线与平面相交的位置关系中，哪种相交最特殊?

在我们的生活中，随处可见线、面的垂直：在操场上竖立的国旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、灯塔与海平面.思考

1如何用语言表述直线和平面的垂直关系?

直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．

用符号记作： l

用图形表示： a．

思考

2怎样判定直线与平面垂直呢?

思考

3 如果一条直线垂直于一个平面内的一

条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的两条条直线，那么这条直线是否与这个平

面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平

面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线是否与这个

平面垂直?

抽象概括

直线和平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面．

关键：线不在多，相交则行

符号语言表示：若a,b,abP,且la,lb，则l

图形语言表示：

动手实践

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上

（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点A翻折纸片呢？

（3）翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此你能得到什么结论？

知识应用

例1如图所示，在Rt△ABC中，B90，P为△ABC所在平面外一点，PA平0

面ABC问：四面体P—ABC中有几个直角三角形?

解：因为PA平面ABC，所以 PAAB，PAAC，PABC．

所以△PAB，△PAC为直角三角形．

又PABC，ABBC，且PAABA，所以BC平面PAB．

又PB平面PAB，于是BCPB，所以△PBC也为直角三角形．

所以四面体PABC中的四个面都是

直角三角形．

例2如图所示，已知三棱锥A-BCD中，CACB,DADB,BECD,AHBE,且F为棱AB的中点，求证：AH平面BCD.证明：取AB的中点F，连接CF，DF，因为CA=CB，DA=DB，所以CFAB,DFAB,又CFDF

又CDF,所以AB平面CDF.平面CDF，于是ABCD,由已知BECD,且ABBEB,所以CD平面ABH.又AH平面ABH，于是CDAH,已知AHBE,且BECDE,所以AH平面BCD.课堂小结

判定直线和平面是否垂直，有两种方法：

(1)定义：强调是“任何一条直线”；

(2)判定定理：必须是“两条相交直线”．

线线垂直线面垂直

布置作业

课本习题1—6 A组5、6（1）B组2（1）

思考交流

如图，直线m、n都是线段AA/的垂直平分线，设m、n确定的平面为，能否证明：AA/⊥g，其中g为平面内过点B的任意直线.

第二篇：线面垂直的判定

漯河高中2013—2014高一数学必修二导学案

2.3.3直线与平面垂直的性质

2.3.4平面与平面垂直的性质

编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.0

3【课前预习】

一、预习导学

1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P7

3【课内探究】

［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）

［例3］

10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由

.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）

【巩固训练】

1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是

()

①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交

B．平行

C．异面

D．相交或平行

3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为

m∥nm⊥α

⇒m∥n； ①⇒n⊥α；②m⊥αn⊥α

m⊥αm∥α⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④n∥αm⊥nA．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．内心

5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()

A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．

8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．

①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3

页（共4页）

求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．

11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

我主动，我参与，我体验，我成功第4页（共4页）

第三篇：线面垂直判定经典证明题

线面垂直判定

1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。

求证：PA⊥平面ABC。

2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求证：PA⊥BC。

3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。求证：VBAC4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。求证：BD平面AEGC5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,求证： BC⊥平面PAC6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

求证： BD⊥平面ADC7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC平面PBD

_

_

C9、已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。（1）求证：AE平面BCD;（2）求证：ADBC;

B

E

C

D10、三棱锥A-BCD中，AB=1，AD=2，求证：AB⊥平面BCD11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形

求证：AC⊥平面SBD12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，求证：AB平面ADE；

A

E

D13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心

求证:PH底面ABC14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._A

_

115、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC

S

C

A

B16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点． 求证C1D ⊥平面A1B ；

第四篇：线面垂直的判定定理 教案

线面垂直的判断定理

数学科学学院 刘桂钦 2007220113

5一、教学目标

（一）知识与技能目标

理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。

（二）过程与方法目标

通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。

（三）情感与态度目标

通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化”的数学思想。

二、教学重、难点

教学重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。

教学难点：直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。

三、教学过程

（一）构建定义

1、直观感知

通过观察图片，如地面上树立的旗杆、水面上大桥的桥柱等，使学生直观感知直线和平面垂直的位置关系，并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考

首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直，然后带着问题观察在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC所在直线的位置关系，这可以通过多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，并引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。

3、抽象概括

问题：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 这可以让学生讨论后口头回答，老师再根据学生回答构建出线面垂直的定义与画法。（板书）

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一l 的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面P 的平行四边形的一边垂直，如右图所示。

4、加深理解

在给出了线面垂直的定义和画法之后，可以继续问学生：

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否就与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线是否就垂直于这个平面内的任一直线？

这样通过问题的辨析，加深学生对概念的理解，以掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。

（二）探索发现

1、观察猜想

思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

然后让学生观察跨栏、简易木架等实物的图片，并引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、操作确认

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕

AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥

CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ C 通过这个实验，可以引导学生独立发现直线与平面D垂直的条件，并培养学生的动手操作能力和几何直

观能力。

3、合情推理

在上面的试验后，可以引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：m,n,mnPl lm,ln

（三）例题分析

例

1、求证：与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直。

分析：这道题主要是让学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

例

2、如右图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。分析：这道题主要是让学生进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。首先引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可

用判定定理证，再提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。

（四）课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

P

（五）巩固练习

1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M内，P为M外一点，PA=PC．

求证：AC⊥平面PBD．

（六）布置作业

1．课本：课后练习1、2题．

2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1．

（七）板书设计

第五篇：线面垂直教案

2012第一轮复习数学教案

线面垂直、面面垂直

教学目标：掌握线面垂直、面面垂直的证明方法，并能熟练解决相应问题.（一）主要知识及主要方法：

【思考与分析】要证明线面垂直，我们可以把它转化为证明线线垂直，这道题可以通过证明A1C与平面C1BD内两条相交直线BD，BC1垂直即可.而要证明A1C与相交直线BD、BC1垂直，可利用三垂线定理的三步曲证明．基础平面分别取下底面及右侧面．

1.线面垂直的证明：1判定定理；2如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于

这个平面；3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；4两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.5如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.P A6向量法：

PQABPQAB0

PQ 

PQACPQAC0

CQ

2.面面垂直的证明：2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,1计算二面角的平面角为90 ；

那么这两个平面垂直;

题型讲解证明线线垂直

三垂线定理与平面的位置无关，即对水平位置、竖直位置、倾斜位置的平面都能用三垂线定理．下面我们通过实例来体验“三步曲”的具体应用过程．

例1(1)已知PA、PB、PC两两互相垂直，求证：P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心．

【思考与分析】 要证O是△ABC的垂心，我们需要证明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分别是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我们想到应用三垂线定理.分三步进行：①定线面：即面内直线BC与基础平面为底面ABC，②找三线：即垂线PO，斜线PA，射影AO，③证垂直：即AO⊥BC．同理可证其它两条．

证明：因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABC，连结AO且延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根据三垂线定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC边上的高．连结CO并延长交AB于F，同理可证CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB边上的高，AD∩CF=O，所以O是△ABC的垂心．【反思】 解这道题时，首先应用的是线面垂直的判定定理，然后运用三垂线定理的逆定理，所以要想快速解题，我们需要熟练掌握并能综合应用所学知识.(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：对角线A1C⊥平面C1BD．

证明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜线，连AC，AC⊥BD，由三垂线定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜线，连B1C，B1C是A1C在BCC1B1内的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂线定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 应用三垂线定理解题一定要熟记这三个步骤，而且还需要我们有一定的空间立体感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C

证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理 证明线面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”

练习：

1.以AB为直径的圆在平面内PA⊥于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

PA

BC

PAAB为直径ACBC



AF面PAC



AFPC



AF面PBCPB面PBCAFPB

AEPBPBAEF

cosBAC

AB2AC2BC

22ABAC 

a2b2a2c2b2c2

2ABAC



a

a2b2a2c2

0

BAC为锐角，同理ABC为锐角。

P在底面射影为ABC垂心。

BC面ABC

PABC

 BC面APQAQ面APQBCAQ

Q为ABC垂心

同理ACBQ



CQAB

AB面PQCPQABABPC

同理A、B5.如图，BAAA//BB确定平面

AB

ABAB//AB



AB//ABAA



AB面AACAAAB





ABAC



AB面CAAABCACAB为直角

证明面面垂直

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)



(1)AD(0,2,0),D1F(1,0,2)



 ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F

（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则 cosθ1

21001(2)

50

所以，直线AE与D1F所成的角为90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M

平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一

点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC． 点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC小结:

1垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量，然后证它们的数量积为0

2面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获 3如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线

用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的 AB

CD 答案：B①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等 ABCD 解析：①错误与平面相交如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内④正确AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂线定理知AC⊥PB，故选答案：C 5ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为解析：如下图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连结CG交

AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为________；（2）A点到BD1的距离为________；

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；（4）A点到面A1BD的距离为_____________；（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是_____________三角形答案：（1）

解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知△A1B1C的形状仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD证明：连结MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故当a=2时，BD⊥平面PAC（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值解：∵P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2CM2=

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围分析：本题第（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形-4-