线面垂直的判定定理的证明过程

第一篇：线面垂直的判定定理的证明过程

线面垂直的判定定理的证明过程

证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）

不妨假设L3过O点（可以通过平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B（令OD=OB）则⊿OED ≌⊿ OFB（SAS）

延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB（M为L 上的任意点）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF又因为 角MOE与 角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

第二篇：线面垂直的判定定理 教案

线面垂直的判断定理

数学科学学院 刘桂钦 2007220113

5一、教学目标

（一）知识与技能目标

理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。

（二）过程与方法目标

通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。

（三）情感与态度目标

通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化”的数学思想。

二、教学重、难点

教学重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。

教学难点：直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。

三、教学过程

（一）构建定义

1、直观感知

通过观察图片，如地面上树立的旗杆、水面上大桥的桥柱等，使学生直观感知直线和平面垂直的位置关系，并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考

首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直，然后带着问题观察在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC所在直线的位置关系，这可以通过多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，并引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。

3、抽象概括

问题：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 这可以让学生讨论后口头回答，老师再根据学生回答构建出线面垂直的定义与画法。（板书）

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一l 的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面P 的平行四边形的一边垂直，如右图所示。

4、加深理解

在给出了线面垂直的定义和画法之后，可以继续问学生：

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否就与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线是否就垂直于这个平面内的任一直线？

这样通过问题的辨析，加深学生对概念的理解，以掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。

（二）探索发现

1、观察猜想

思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

然后让学生观察跨栏、简易木架等实物的图片，并引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、操作确认

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕

AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥

CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ C 通过这个实验，可以引导学生独立发现直线与平面D垂直的条件，并培养学生的动手操作能力和几何直

观能力。

3、合情推理

在上面的试验后，可以引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：m,n,mnPl lm,ln

（三）例题分析

例

1、求证：与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直。

分析：这道题主要是让学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

例

2、如右图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。分析：这道题主要是让学生进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。首先引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可

用判定定理证，再提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。

（四）课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

P

（五）巩固练习

1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M内，P为M外一点，PA=PC．

求证：AC⊥平面PBD．

（六）布置作业

1．课本：课后练习1、2题．

2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1．

（七）板书设计

第三篇：《2.3.1线面垂直判定定理》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、学习内容分析

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章2.3.1节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

二、学习者分析

本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。

三、教学重点、难点

重点：直线与平面垂直的判定定理。

难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

四、教学目标

（1）知识与技能目标： 1.描述直线与平面垂直的定义；

2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题.（2）过程与方法目标：

1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力；

2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.（3）情感态度与价值观目标：

1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美； 2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣

五、教学过程

1．复习回顾，引入新课

问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？ 【师生活动】学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交

【追问】有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？

【师生活动】教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课题 2．逐步探索，得出定义

问题：在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些？

【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行思考。思考：

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动, 而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？

【设计意图】：第（1）与（2）两问是为了让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问是为了进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，那么学生就可以得到直线AB与地面内任意一条直线垂直。在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．

【师生活动】师生一起给出线面垂直的定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作：l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足。3.创设情境，猜想定理

【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。【实验】准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作得到折痕，．如图，过△、的顶点

折叠纸片，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使边与桌面接触）

【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：

与桌面一定垂直吗？ 1.折痕2.为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？ 对于思考2教师引导学生根据定义进行回答。

【设计意图】：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.【师生活动】教师引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？

【设计意图】：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

问题：如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

问题：如果将图3中的两条相交直线平面吗？、的位置改变一下，仍保证，你认为直线还垂直于，把桌面抽象为平面

(如图3)，那么你【设计意图】：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

【师生活动】教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.图形语言：

m,n,mnB符号语言：la

lm,ln【教师归纳】“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.4.运用定理，证明问题

练习：1.如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？

2.如图６，已知，则

吗？请说明理由．

【师生活动】引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明，并用文字语言概括：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

【教师归纳】：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．

练习：3如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．

证：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）5.回顾总结，作业布置

【师生活动】教师引导学生从知识和方法两个方面进行总结．

知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．

方法方面：转化思想．

第四篇：线面垂直的判定定理说课

线面垂直的判定定理

大家好！今天我说课的内容是《线面垂直的判定定理》。下面，我将从教材分析、教法学法分析、教学流程等方面阐述我对本节课的理解。

一 教材分析

《线面垂直的判定定理》是人教版高中数学《必修二》第二章第三节的内容。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。在教材中起到了承上启下的作用。基于以上考虑，我将本节课的教学目标定为：

(1)知识与技能：1.经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并

能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

(2)过程与方法：1.通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时

感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂

直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

3.尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表

述和合理转换．

(3)情感态度价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

另外，我将本节课的重点定为：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。难点定为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学与学法

教法：本节课以“感知—探究—归纳”为主线，通过实例，引导学生利用手中的工具自助探究，总结规律，发现概括线面垂直的定义和判定定理。在教学中以引导启发为主，层层设疑，激发学生的学习兴趣，在学生自助地动手实验、观察比较的基础上，师生以对话形式共同研究探讨，步步深入，完成本节课的教学任务，从而实现“教师引导，学生探究、师生互动、探求新 知”的教学模式。

学法：教师的“教”就是为了学生的学，课堂教学要体现以学生的发展为本的精神。本节课通过创设具体的问题情境，教会学 生主动“观察猜想、实验确认、总结规律”的学习方法。让学生积极地参与到 教学的全过程中，使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。在学习中体会研究数学规律的一般过程，体会研究数学问题的乐趣。

三、教学流程：

（1）复习引入、导入课题；

（2）引导探究、获得性质；

（3）应用迁移、交流反思；

（4）拓展升华、发散思维；

（5）小结归纳、布置作业

第五篇：线面垂直的判定

漯河高中2013—2014高一数学必修二导学案

2.3.3直线与平面垂直的性质

2.3.4平面与平面垂直的性质

编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.0

3【课前预习】

一、预习导学

1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P7

3【课内探究】

［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）

［例3］

10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由

.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）

【巩固训练】

1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是

()

①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交

B．平行

C．异面

D．相交或平行

3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为

m∥nm⊥α

⇒m∥n； ①⇒n⊥α；②m⊥αn⊥α

m⊥αm∥α⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④n∥αm⊥nA．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．内心

5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()

A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．

8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．

①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3

页（共4页）

求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．

11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

我主动，我参与，我体验，我成功第4页（共4页）