高考复习专题---立体几何垂直关系证明

第一篇：高考复习专题---立体几何垂直关系证明

5．（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD（I）求证：AO平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

B

图

14．（福建19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

20．（全国Ⅱ20）（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC．

平面BED；（Ⅰ）证明：AC

1DA1

A

10.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C 

0。

2

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1AABAC2AC112，D为BC中点．（Ⅰ）证明：平面A1AD平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；（Ⅱ）求证：PB//平面AEC12．（天津•理•19题）如图，在四棱锥PABCD中，PA，ACCD，ABC60°，底面ABC，ABADP

B

C

PAABBC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明CDAE；

（Ⅱ）证明PD平面ABE；

A

B

D

第二篇：立体几何垂直证明范文

立体几何专题----垂直证明

学习内容：线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

P

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A

B

C5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，求证:PA平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD

平面PAC;

第三篇：高中数学立体几何：垂直关系

高中数学立体几何：直线与平面垂直、平面与平面垂直

高考要求

1理解直线和平面垂直的概念 掌握直线和平面垂直的判定定理；

2掌握三垂线定理及其逆定理

3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理

4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；⑸向量法

知识点归纳

1线面垂直定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α

2直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3直线和平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；PO,O（2）推理模式：PAAaPA

a,aOA5．三垂线定理的逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直PO,O推理模式： PAAaAO．

a,aAP

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用

6两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

7．两平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

推理模式：aØ，a．

8．两平面垂直的性质定理：

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

推理模式：,l,aØ,al a9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：

①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；

②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直

题型讲解

例1 已知直线a⊥平面，直线b⊥平面，O、A为垂足求证：a∥b



设b=（x，y，z），∵b⊥，证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i,j,k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a,b







∴bi0，bj0，∴b=（0，0，z）=zk

∴bk，∴a∥b



(1)AD(0,2,0),D1F(1,0,2)



 ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F

点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”

例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C

证明：取A1B1的中点D1，连结C1D

1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1

连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1

取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C

点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点

（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)



（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则cosθ1

21001(2)

0

所以，直线AE与D1F所成的角为90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M平面AED⊥平面A1FD

1B

例5如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可

解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC．

点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法 小结:

1有关异面直线垂直的问题，除了用定义法外，还常常借助三垂线定理，转化为同一平面内的直线的垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量，然后证它们的数量积为0

2证明直线和平面垂直我们可以用定义法，即证明直线与平面内的任一条直线垂直，但常用的还是线面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获

3面面垂直的问题一般转化为线面垂直的问题来解决，如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线

用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0 学生练习

1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的 A充分条件B必要条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案：B

2给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥

α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等 A①②B②③C③④D②④

解析：①错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交②正确如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD 设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内

④正确如右上图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有 ASG⊥平面EFGBSD⊥平面EFG CFG⊥平面SEF DGD⊥平面SEF

解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG选A 答案：A

4PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是 APA⊥BCBBC⊥平面PACCAC⊥PB DPC⊥BC

解析：由三垂线定理知AC⊥PB，故选C

答案：C

5△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为__________

解析：如下图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为

G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=

5（A′A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm 2

26在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等 7设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为________；（2）A点到BD1的距离为________；

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；（4）A点到面A1BD的距离为_____________；（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________

6232（2）（3）（4）（5）23232

8Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是_____________三角形 解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知△A1B1C的形状仍是Rt△答案：直角

4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD 证明：连结MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1 又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

2在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM ∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

9在三棱锥S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB

证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC连结MD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SC∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB

10如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值

解：∵P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=

4B

3∴CM=AC·sin60°=4·=2 2

答案：（1）

∴PM=PC2CM2=12=27

11在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD

（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论

（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM

（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围

分析：本题第（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC 故当a=2时，BD⊥平面PAC

（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、BMN

∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM

（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求

点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的

第四篇：《垂直关系证明》专题

《垂直关系》

例

1、如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

平面MBD．

1例

2、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如图１所示，ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

例

4、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

例

5、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC

图9—40

例

7、如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD

例

8、如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．求证：平面MNF⊥平面ENF．

图9—

42《垂直关系》专题练习

1、如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

2、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

4、如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.求证：NP⊥平面ABCD.5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．求证：平面PCE⊥平面PCD

图9—457、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．BA

C

第五篇：高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1)通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证

BF⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P－ABCDABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥PAB中，AB平面,PAB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且

DF

AB,PH为PAD中AD边上的高。

2（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1，ADFC1，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.分析：要证EF平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD, 易证DG⊥平面PAB

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。证明: BE平面PDC;

分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，PCAC．APBPAB，（Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；

P

A

C

B6、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为

1的正方形，PACD,PA1,PD求证:PA平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，且ABAD

CD1．

2现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面

ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；

（2）求证：BC平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（1）证明：连结OCBODO,ABAD,AOBD.B

E

BODO,BCCD,

COBD.在AOC中，由已知可得AO1,CO 而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.BDOCO, AO平面BCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，10、如图，四棱锥SABCD中，ABBC

ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形

BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE又SD=1，故EDSESD，所以DSE为直角。

由ABDE,ABSE,DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.P

A15、如图，在圆锥PO中，已知POO的直径AB2,C是狐AB的中点，D为

AC的中点．证明：平面POD平面PAC;

16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．

求证：平面ABM⊥平面PCD； ．

证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B