立体几何复习（★）

第一篇：立体几何复习

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、反证法。

3、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

4、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直

第二篇：立体几何专题复习教学设计

立体几何专题教学设计

【考情分析】立体几何主要培养学生的发展空间想像能力和推理论证能力。立体几何是高考必考的内容，试题一般以“两小题一大题或一大题一小题”的形式出现，分值在17—22分左右。近三年的试题中必有一个选择题是以三视图为背景，来考查空间几何体的表面积或体积。立体几何在高考中的考查难度一般为中等，从解答题来看，立体几何大题所处的位置为前4道，有承上启下的作用。主要考查的知识点有： 1.客观题考查的知识点：

(1)判断：线线、线面、面面的位置关系；

(2)计算：求角(异面直线所成角、线面角、二面角)；求距离(主要是点面距离、球面距离)；求表面积、体积；

(3)球内接简单几何体(正方体、长方体、正四面体、正三棱锥、正四棱柱)(4)三视图、直观图（由几何体的三视图作出其直观图，或由几何体的直观图判断其三视图）

2.主观题考查的知识点：

(1)有关几何体：四棱锥、三棱锥、(直、正)

三、四棱柱；

(2)研究的几何结构关系：以线线、线面(尤其是垂直)为主的点线面位置关系；(3)研究的几何量：二面角、线面角、异面直线所成角、线线距、点面距离、面积、体积。其中，解答题的第二问一般都是求一个空间角，而且都能通过传统方法（几何法）和空间向量两种方法加以解决。【课时安排】本专题复习时间为三课时：

例2．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥α，nα，则m⊥n；

②若mα，nα，m//β，n//β，则α//β；

③若α⊥β，α∩β＝m，nα，m⊥n，则n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m//n，则n//β．

其中所有正确命题的序号是．

解决策略：培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，充分利用正方体这个有力的载体，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力．本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选多选． 基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题）

例3．如图，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．

（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；

（2）求证：PC1∥面MNQ．

解决策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关

系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见A1 B

1证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面M

平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综

合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推

理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．此外，要特A N P B 别注重培养学生的空间想象能力，会分析一些非常规放置的空间几何

体（如侧面水平放置的棱锥、棱柱等），会画空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形．

基本题型四：运用空间向量证明与计算（解答题）

例4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．

P（1）在平面PAD内求一点F，使得EF平面PBC；

（2）求二面角FPCE的余弦值大小．

解决策略：要注意培养学生对空间几何体合理建系的意识，会求平面的法向量；要求学生理解用向量判定空间线面位置关系、求解夹角与

E 距离的原理，并掌握一般求解步骤．其中，线线角、线面角与二面角

是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在探究点的位置

等问题中，要引导学生根据共线向量，用已知点的坐标表示未知点的坐标，根据题设通过解方程（组）来解决问题的方法．

【复习建议】 A B C

1．三视图是新课标新增的内容，考查形式越来越灵活，因此与三视图相关内容应重点训练。

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路，必须根据所依据的大前提把具体问题中的小前提写

完整。

3．空间角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“一作二证三求”的有机统一。解题时注意各种角的范围，异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和向量法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影、法向量法；二面角的范围是0°≤θ≤180°，其主要方法有：定义法、三垂线定理法、射影面积法、法向量法。鼓励学生用多种方法解决问题，既要想到用向量法，也要有意识的去用几何法求解。

4.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【复习指导】

1．回归课本，抓好基础落实

系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题，这是高考复习必须做好的第一步,高考题“源于课本,高于课本”，这是一条不变的真理，所以复习时万万不能远离课本，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展。

2．注重规范，力求颗粒归仓

网上阅卷对考生的答题规范提出更高要求，填空题要求：数值准确、形式规范、表达式(数)最简；解答题要求：语言精练、字迹工整、完整规范。

考生答题时常见问题：如立几论证中的“跳步”，缺少必要文字说明，忽视分类讨论，或讨论遗漏或重复等等。这些都是学生的“弱点”，自然也是考试时的“失分点”，平时学习中，我们应该引起足够的重视。

3．加强计算，提高运算能力

“差之毫厘，缪以千里”，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在考试时有发生，对此平时复习过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念。

4．整体把握，培养综合能力

对于综合能力的培养，我们坚持整体着眼，局部入手，重点突破，逐步深化原则；适度关注创新题。高考数学考查学生的能力，势必设计一定的创新题，以增加试题的区分度，平时复习应注重数学建模、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力的培养。

第三篇：立体几何基本概念回归课本复习材料

立体几何基本概念回归课本复习材料

一．基础知识:

1.．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为二直线同与第三条直线平行；

（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直；（4）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.12.球的半径是R，则

其体积V43

R,其表面积S4R2．

13.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.14．柱体、锥体的体积

V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.V1

锥体Sh（S是锥体的底面积、h3

是锥体的高）.17直线和平面所成的角：

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

（2）范围：[0,90]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；20．几个定理

1.两直线平行的判定：

（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

2、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；

（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线

和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

3、直线与平面平行的判定和性质：

①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。

4、直线和平面垂直的判定和性质：

（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

5、两个平面平行的判定和性质：

（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。）

第四篇：高三数学总复习立体几何复习

高三数学总复习立体几何复习(1)

一、基本知识回顾

(1)重要的几何位置关系；平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路：一般情况下，利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理，即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形)。一般的思路是：线线←→线面←→面面，即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定)，低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是，表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。)

①线线平行的判定：

平行公理

性质定理

②线面平行的判定：

判定定理

性质定理

③面面平行的判定；

判定定理

性质定理

线面平行

面面平行

④线线垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑤线面垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题

例1 已知：

分析：利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面

∴l∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面AB垂直，设M是a上任意一点，N是b上任意一点。

经过点P且与

求证：线段MN与平面的交点Q是线段MN的中点。

分析：利用线线平行、线面平行的性质。

证明：连结BM，设，连结PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可证

∵BNÌ平面BMN且平面

且R为BM中点

∴BN∥RQ

△BMN中，由R为BM中点可知Q为MN中点。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD

分析：利用性质定理来构造满足判定定理的条件。

(1)法一：取PD中点E，连结NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：连结CM并延长与DA延长线交于F，连结PF

∴M为CF中点，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中点G，连结NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一点，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中点，P是A1A的中点，求证：平面AMC1∥平面B1NP

证明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性质，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD。过A且垂直于PC的平面分别交PB、PC、PD于E、F、G。求证：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用线面垂直的性质。

证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱锥A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1为垂足，且O1是△BCD的垂心。求证：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用线面垂直的性质。

证明：连结DO1，AO1设D在平面ABC内的射影为O2，连结DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1为AD在平面BCD内射影

同理AO2为AD在平面ABC内射影

∵O1为BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2为△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1

分析：三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质)

证明：取AB、A1B1中点DD1，连结A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性质C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分别为A1C与BC1在平面ABB1A1内的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点。

求证：平面MND⊥平面PCD。

证明：取PD中点E，连结NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD

第五篇：立体几何复习课教学设计

立体几何复习课

一、教学背景

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段立体几何课程的基本要求。

这部分内容除了掌握一些规则几何体的面积和体积公式外，重点要求是两种位置关系（平行和垂直）、两个度量性质（夹角和距离）。根据近年来高考立体几何命题的规律，一般以简单几何体为载体，重点考察空间线面的平行、垂直问题，理科还会有求空间角的求解问题，由于新课标强调了用空间向量研究空间的点、线、面的定量和定性研究，这会为研究空间的点、线运动变化带来方便，如探索“存在性”问题等，需要我们复习时多加注意。

二、教学目标

1.在巩固平行与垂直判定定理与性质定理的基础上，提升利用空间向量解决三维空间中图形的位置关系与度量问题的能力；

2.体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力； 3.通过学习，理解并提高探索“存在性”问题的一般方法(在假设存在的前提下，往往可以得到一个方程(组)或不等式(组)，通过计算求解得到判断结果)，强化学生对于方程的应用意识。

三、教学重点

1.掌握利用平行、垂直的判定定理和性质定理来证明空间中的平行垂直关系 2.掌握利用空间向量来求空间角 3.了解“存在性”问题的一般解决思路

四、教学难点

关于“存在性”问题的探索

五、教学过程

例：如图，已知边长为2的菱形ABCD，E为DC中点，且∠A=60°，现将△BEC沿BE折起，得四棱锥C-ABED，且使得平面BCE⊥平面ABED，如图所示（1）求证：CE⊥AB;（2）请建立空间直角坐标系，并求出平面BCE与平面ACD的法向量;„„

DECCDEABAB

设计意图：通过设置熟悉问题，承前启后、激发学生的学习愿望;减少课堂计算量、给学生留下思考与交流的时间，突出学生的主体地位和学习的重点;提供关键计算信息：

活动设计：

（1）带学生一起分析：对于翻折问题，关键去发现翻折前后哪些长度发生了变化，哪些没有变化；哪些位置关系发生了变化，哪些没有变化；梳理证明垂直关系的方法，总结异面直线的垂直问题经常转化为证明线面垂直；

（2）以E为原点，ED、EB、EC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

E(0,0,0),A(2,3,0),B(0,3,0),D(1,0,0),C(0,0,1)从而求得平面BEC的法向量为m(1,0,0)，平面ACD的法向量为n(3,1,3)(3)求AC与平面BEC所成角的大小

（4）求平面ACD与平面BCE所成锐二面角的余弦值

设计意图：通过第（2）个问题的设置，为（3）（4）求空间角做好了准备工作，巩固强化学生利用向量的办法求空间角的能力。

(5)在棱BC上是否存在一点p,使PE⊥AC并说明理由(6)在棱BC上是否存在一点M,使EM∥平面ACD并说明理由

设计意图：对于每一问题先做定性的考量，使学生能够从“运动变化”的角度观

察和分析问题，体现问题的形成过程，提高学生认识、分析、探索“存在性”问题的能力，之后再利用向量的办法解决，由感性认识到理性认识，逐步提升学生解决问题的能力。

思考：设平面ABC 平面DEC=m，判断直线m与AB的位置关系并说明理由.设计意图：作为高二的学生，对于立体几何问题的解决还没达到熟练的程度，所以思考题只为部分学生留下提升空间。

六、课堂小结

立体几何主要研究位置关系和度量关系，本节课重点复习了位置关系的证明及利用向量求空间角，并适当的探索了“存在性”问题的求解。

七、布置作业

完成学案的例题的书写及练习题