立体几何测试题[本站推荐]

第一篇：立体几何测试题[本站推荐]

1、设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（B）

（A）若lm，m，则l（B）若l，l//m，则m

（C）若l//，m，则l//m（D）若l//，m//，则l//m2、在空间，下列命题正确的是(D)

A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行

3、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题正确的有：(C)①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.A.①②B.②③C.①④D.③④

4.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（D）

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

5、设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确（C）

A．若l,，则lB．若l//,//，则l

C．若l,//，则lD．若l//,，则l

6：已知m,n是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（D）

A．若m‖,n‖,则m‖nB．若,,则‖

D．若m,n,则m‖n C．若m‖,m‖,则‖

7：设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是(D)

A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥

8：已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m∥，n∥，则m∥n；②若m∥，n⊥，则n⊥m；③若m⊥，m∥，则⊥． 其中真命题的个数是(C)

A．0B．1C．2D．3

第二篇：立体几何2018高考

2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷

一．选择题（共11小题）

1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A． B． C． D．

2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A． B． C．

D．

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值为（）A． B． C．

D．，则异面直线AD1与DB1所5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

第1页（共23页）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8 B．6 C．8

D．8

7．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）B．18 C．2D．54

8．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

第2页（共23页）

A．2 B．2 C．3 D．2

10．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A． B．

C．

D．

11．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ

1二．解答题（共8小题）

12．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．

13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

第3页（共23页）

14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2（1）证明：PO⊥平面ABC；，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

15．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

16．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是上异于C，D（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

第4页（共23页）

17．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

18．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．

第5页（共23页）

第6页（共23页）

2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．

2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2=8，解得R=，第7页（共23页）

则该圆柱的表面积为：故选：D．

=10π．

3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A． B． C．

D．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．

∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．

故选：C．

第8页（共23页）

1为z轴，建立空间直角DD

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值为（）A． B． C．

D．，则异面直线AD1与DB1所【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，），D（0，0，0），∴A（1，0，0），D1（0，0，B1（1，1，），），=（﹣1，0，=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ=

=

=，． ∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为故选：C．

5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

第9页（共23页）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．

如图所示：故该几何体的体积为：V=故选：C．

．

6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8 B．6 C．8

D．8

【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B=30°，可得BC1=可得BB1=

=

2．=8

．

=2

．

所以该长方体的体积为：2×故选：C．

第10页（共23页）

7．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9A．12，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）B．18 C．2D．54

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C==，OO′=

=2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故选：B．

=18

．

8．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

第11页（共23页）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，可得三角形PCD不是直角三角形． PC=3，PD=2所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD． 故选：C．

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

第12页（共23页）

A．2 B．2 C．3 D．2

【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：故选：B．

10．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A． B．

C．

D．

=2．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长故选：A．

明明就的最大值为：6×

=

．

11．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1

第13页（共23页）

【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心． 过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取CD中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角． ∵tanθ1=∴θ1≥θ3，又sinθ3=∴θ3≥θ2． 故选：D．，sinθ2=，SE≥SM，=，tanθ3=，SN≥SO，二．解答题（共8小题）

12．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．

【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，第14页（共23页）

∴圆锥的体积V==

=．

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ==

=

．

∴θ=arccos．

∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos

．

13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

第15页（共23页）

DF为折痕

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．

又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故VF﹣PDE=，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．

设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a 在△PDE中，所以故VF﹣PDE=，，第16页（共23页）

又因为所以PH==，=，． 所以在△PHD中，sin∠PDH=即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：

14．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

【解答】（1）证明：∵AB=BC=2角形，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=在△COM中，OM=S，=

．

=××=，第17页（共23页）

S△COM==．，设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒解得d=，． ∴点C到平面POM的距离为

15．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；

（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为

；

．

（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=，第18页（共23页）

又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=在Rt△CMD中，sin∠CDM=，．

． ∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为

16．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

所在平面垂直，M是

上异于C，D

【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦

所在平面，所在平面垂直，所以AD⊥∴CM⊥AD，M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD⊂平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中点，理由：

连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，第19页（共23页）

所以MC∥平面PBD．

17．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

所在平面垂直，M是

【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧∴AD⊥平面BCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面积为定值，∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量=（1，0，0），设平面MAB的法向量为=（x，y，z）

第20页（共23页）

所在平面垂直，则=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由•=2y=0，•=﹣2x+y+z=0，令x=1，则y=0，z=2，即=（1，0，2），则cos＜，＞=

=

=，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=

=

．

18．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，⇒AB∥平面A1B1C；

（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．

第21页（共23页）

在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC． ∴

⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．

【解答】证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；

（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD，在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD=PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，第22页（共23页）

由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH=BC，由DE∥BC，DE=BC，可得DE=FH，DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形，可得EF∥DH，EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD，即有EF∥平面PCD．

第23页（共23页）

第三篇：教案 立体几何

【教学过程】 *揭示课题 9 立体几何 *复习导入

一、点线面的位置关系 点与直线的位置关系：Aa　Aa 2.点与面的位置关系： A　A 3.直线与直线的位置关系：平行 相交 异面 4直线与平面的位置关系： 在平面内 相交平行

二、线面平行的判定定理

1.线线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行

2.线面平行：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行

3.面面平行：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行

三、线面平行的性质定理

1.线线平行：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

2.线面平行：如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个面相交，那么这条直线和交线平行

3.面面平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

四、线面垂直的判定定理

1.线面垂直：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

2.面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

五、线面垂直性质定理

1.线面垂直：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.面面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

六、柱、锥、球 1.棱柱、圆柱

S侧=底面周长高V体=底面面积高2.棱锥、圆锥

1底面周长母线2 1V体=底面积高3S侧3.球

S表=4r243 V体=r3*练习讲解 复习题A组 *归纳小结

本章立体几何部分概念偏多，需要着重分辨判定定理与性质定理的适用范围，将点线面位置关系化为最简单的线线判断，由此可提高位置判定的速度，能够更加地熟练运用各大定理。

第四篇：高中立体几何

高中立体几何的学习

高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很简单。那么,怎样才能学好立体几何呢?我这里谈谈自己的认识。

一．空间想象能力的提高。

开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。

二．逻辑思维能力的培养。

培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1.加强对基本概念理解。

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。

对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个[平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直

线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

这在立体几何“简单几何体”部分的学习中显得尤为突出，本章节中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，严谨性，辨析相近易混的概念。如：正四面体与正三棱锥、长方体与直平行六面体、轴截面与直截面、球面与球等概念的区别和联系。

2.加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。

对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。需要避免证明中出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。

（1）重视定理本身的证明。我们知道，定理本身的证明思路具有示范性，典型性，它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容,证明的思想方法,适用范围和表达形式.特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法,如新教材上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.”此定理的证明就采用了反证法,那么反

证法的证题思想就需要去体会,一般步骤,书写格式,注意要点等.并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题.(2)提高应用定理分析问题和解决问题的能力.这常常体现在遇到一个几何题以后,不知从何下手.对于习题，我们首先需要知道：要干什么（要求的结论是什么），那些条件能满足要求，这样一步一步往前找条件。当然这要根据具体情况，需要多看习题，我反对题海，但必要的练习是不可以缺少的。

第五篇：立体几何复习题

立 体 几 何 复习题

二、垂直关系

一、平行关系

（1）线线平行（2）线面平行（3）面面平行

证明线线平行的常用方法： 证明线面平行的常用方法： 证明面面平行的常用方法： 练习：

1、已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ，求证：PQ∥平面CBE。

D2、在正方体AC1中，E是DD1的中点，求证D1B∥平面EAC。

3、在正方体AC1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点，1求证：（1）M,E,F,N四点共面；（2）平面MAN∥平面EFDB。A

方法指导与点评：要证明平行关系，首先我们要深刻地理解和牢记证明平行关系的常用方法，解题是，我们的头脑里要同时展现这些方法，然后再根据图形的具体特征选择适当的方法；证明线面平行和面面平行一般情况可以转化为证明线线平行，所以我们一定要掌握证明线线平行的方法。证明线面平行时，关键在于在平面内找到一条直线与已知直线平行，这条直线如果已经存在，那直接证明即可，如果不存在，那需要作出这条直线，常用的作法有两种，构造平行四边形或三角形的中位线。（如练习1和练习2）

（1）线线垂直（2）线面垂直（3）面面垂直 证明线线垂直的常用方法：

证明线面垂直的常用方法： 证明面面垂直的常用方法： 三垂线定理： 三垂线的逆定理： 练习：、在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，M为BB1的中点，求证

D

1D1O平面AMC。

2、已知RtABC中，C900,PA平面ABC,且AEPB，AFPC，E、F分别为垂足，求证：(1)AF平面PBC；(2)PB

平面AEF。

B3、已知四棱锥PABCD,底面ABCD为菱形,DAB60,PD平面ABCD ,点E为

AB的中点,求证:平面PED平面PAB.A

E4、如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABCBAD90,PABC

12AD.(1)求证:平面PAC平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一点E,使得CE平行于平面PAB?若存在,请确定E的位置;若不

存在,请说明理由.方法指导与点评：要证明垂直关系,首先,我们要深刻地理解和牢记证明垂直关系的常用方法,解题时,头脑里要同时展现这些方法,然后再根据图形的具体特征选择适当的证明方法.证明 线面垂直和面面垂直一般情况可以转化为证明线线垂直，所以我们一定要掌握证明线线垂直的方法。一般情况下,要证明两条异面直线相互垂直,考虑通过证明线面垂直来证明线线垂直，如果给出线线之间的大小关系,我们 可以考虑用勾股定理来证明线线垂直.对于用证明两条直线所成的角为90,在证明线线垂直时,可以分为两类,一类是直接证明这两条直线所成的角为

90,另一类是通过证明这两条直线中的一条的平行线和另一条所成的角为90,（如练习4，都

可用上述的证明方法证明）.三、求值问题(解求值问题分三步:作,证,求)

1、异面直线所成的角

(1)异面直线所成的角的定义和范围.(2)作异面直线所成的角的平面角常用方法:平移法,补形法.练习:

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，CBA900,点D,F分别是A1C1,A1B1的中点，若

ABBCCC1,求CD与AF所成的角的余弦值。

C

1C

A

B2、在正四面体ABCD中, M,N分别是BC,AD的中点，求

AM与CN所成的角的余弦值。D3、正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等, 求AB1与BC1所成的角的余弦值。

4、如图所示,正方体ABCDAB

1B1C1D1中,(1)A1C1与B1C所成角的大小;(2)A

11C与AD1所成角的大小.方法指导与点评： 作异面直线所成的角的平面角有两种方法:平移法和补形法.一般情况下,如 果我们用平移法作异面直线所成的角的平面角时,我们可以考虑在其中一条直线的顶点或者中 点作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的 中位线(如练习1、2),有时我们在其中一条直线的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图 形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线 端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习3中BB 1);补形法就

是在长方体或者正方体中,当我们在其中的一条直线的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.2、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角的定义和范围：

练习：

1、在正方体AC1中，求(1)BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)A1B1与平面A1C1B所成的角.3、四棱锥中SABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD

。已知

ABC450,AB

2,BCSASB（1）证明SABC；

（2）直线SD与平面SAB所成的角.A

方法指导与点评：求线面角的关键是寻找两“足”(斜足和垂足).垂足的 寻找方法:一般可以考虑从斜线的顶点或中点作平面的垂线,通常用到面面垂直的性质定理(如练习1)和三垂线定理，过斜边的顶点或中点作平面的垂线.有时候,我们必须考虑垂足到底在哪里,所以必须掌握点在平面内的射影的定位问题(详见立体几何证明常用方法),(如练习1第2问),有时候.我们过斜线的定点或中点作底面的垂线时,垂足不好确定,此时,考虑用点到平面的距离把垂线段的长度给求出来(如练习3的第2问).3、二面角

1、二面角的定义和范围

2、二面角平面角的定义

3、作二面角平面的方法

（1）根据定义的图形的特征作图

（2）根据三垂线定理或者逆定理的方法 练习:

1、在正方体中ACC11，过顶点在正方体中B、D、C1作截面，则二面角BDC1C的大小为

2、在正方体中AC1，二面角A1B1DB的大小为

C13、如图，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F

为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE;(2)求二面角BACE的大小;(3)点D到平面ACE的距离.4、如图，在底面为平行四边形的四棱锥

PABCD中，ABAC,PA平面

ABCD,且PAAB,点E是PD的中点。

（1）求证：ACPB;

（2）求证：PB∥平面AEC;

（3）求二面角EACB的大小.C

E

D5、如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PAABa求：

（1）二面角BPCD的大小;（2）平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。

方法指导与点评： 根据三垂线定理或者逆定理作二面角的平面角时,难点在于找到半平面的垂线,解决办法:线找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到半平面的垂线,然后作棱的垂线连接垂足与两垂线的端点,运用三垂线定理证明所求的角是二面角的平面角.如果二面角是钝角时,用三垂线法作二面角的平面角时,垂足跑到二面角的外面去,则可先求出二面角的补角的大小,然后求出二面角的大小(如练习4);若二面角无棱,则先作棱(常用线面平行的性质定理,如练习5).4、点到平面的距离 练习

1、在三棱锥SABC中，侧棱SASBSC7，AB6,BC8,AC10，求点S到

平面ABC的距离。

C

D2、在棱长为a正方体中AC1中，求点B1到平面A1BC1的距离。

3、在四棱锥MABCD中，MD平面ABCD, MDa。ABCD是边长为a的棱

形,DAB600，E是MB的中点。（1）求证：平面EAC平面ABCD；（2）求二面

3、棱锥的底面是等腰三角形,这个等腰三角形的底边长为12cm,腰长为 10cm,棱锥的侧面与

底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积和体积。(顶点在底面三角形的射影为该三角形的内心)

C

角AECB的正切值；（3）求点E到平面MDC的距离。

方法指导与点评： 点到平面的距离常用的方法:直接法和间接法.利用直接法求距离需要找到

点到两面内的射影.(必须掌握点在两面内射影的定位问题,详见立体几何证明常用方法),其中,我们经常考虑两垂点的性质定理与几何图形的特征性质;间接法常用的是等积法和转移法,转移法即根据“如果一条直线和一个平面平行,则线上的点到面的距离相等”(如练习3).5、棱锥体积的计算和侧面积棱锥体积公式v1

3sh

练习:

1、如图所示，在直三棱柱ABCA900

1B1C1中，ABC,ABAC1.(1)求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

(2)若直线A0

1C与平面ABC所成的角为45，求三棱锥的体积A1ABC。

2、在三棱锥SABC中，已知SABC,SABCl,SA、BC的公垂线段EDh，求

在三棱锥SABC的体积。

C4、已知ABC中, AB2,BC1,ABC90 ,平面ABC外的一点P满足

PA

PB

PC2,求棱锥PABC的体积.(顶点在底面三角形的射影为该三角形的外心)

方法指导与点评：对三棱锥体积的计算要懂得灵活转换顶点的底，使得棱锥的高和底面面积能

求出来，其棱锥体积的方法常用的还有割补法。、球、正四面体的内切球的半径与正四面体的高的比为多少?内切球的半径与外切球的半径的比

为多少?、在长方体AC'中,AB3,AD4,AA15,则该长方体的外切球的的直径为

613、已知球O的半径为R，正方体的各顶点都在球O的表面上，则正方体的棱长为

3证明线线平行的方法：

R

立体几何中证明的常用方法

（1）证明这两条直线所在的四边形为平行四边形（2）构造三角形的中位线（3）公理4（4）线面平行的性质（5）面面平行的性质定理 证明线面平行的方法：

（1）线面平行的判定定理（2）面面平行的性质

证明面面平行的方法：

（1）面面平行的判定定理（2）垂直于同一条直线的两平面互相平行（3）平行的传递性 证明线线垂直的方法：

（1）线面垂直的定义（2）三垂线定理和逆定理（3）勾股定理（4）证明这两条直线所成的角为90o（5）证明其中的一条直线的平行线和另一条直线垂直 证明线面垂直的方法：

4、水盆里的水冬天结冰时,一个球漂在水上,取出后(冰面未受损),冰面上留下一个直径为

24cm,深为8cm的空穴,那么该球的半径为(C)

A 8cmB5、地球半径为R,在北纬30的圆上有A,B两点,A点在东经120,B点在西经60,则A,B

两点的球面距离为(D)A 

RB

3RD R RC 23

4（1）线面垂直的判定定理（2）面面垂直的性质（3）平行线中一条垂直一个平面，另一条也

R，6、设地球半径为R，在北纬450圈上有A、B两地，它们的纬线圈上的弧长等于求A、B两地的球面距离。( R)

垂直这个平面（4）直线垂直平行平面中的一个，也垂直另一个。

（5）如果两个相交的平面与第三个垂直，那么交线垂直于第三个平面。证明面面垂直的方法：

（1）面面垂直判定定理（2）定义法 作二面角的平面角的常用方法：

（1）定义法（2）三垂线法（3）垂面法 点在平面内射影的定位：

法

1、通常先过这一点作平面内一条直线的垂线，然后再证明这条垂线就是平面的垂线 法

2、利用面面垂直的性质定理

法

3、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上。

方法指导与点评：有关球面距离的计算,根据公式||R,需要先求出球心角,而要求球心角

则需要先求球心角所对的弦长,求出弦长后再根据图形的特征或者余弦定理求出球心角(如练习6),若球心角不是特殊角时则用反三角函数来表示.法

4、利用一些比较常用的结论： P为△ABC所在平面外的一点，1）若P到点A，B，C的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的外心

2）若P到直线AB，AC，BC的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。3）若平面PAB，PBC，PCA与平面所成的二面角大小相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。

4）若直线PA与BC，PC与AB互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。5）若直线PA，PB，PC两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。

6）若平面PAB，平面PBC，平面PCA两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂

心。

有了上述这些结论，我们就可以很快的判断出某个点在某一平面内的射影的位置方便解题。